29. Симметрия

Определения и обозначения

Две точки называют симметричными относительно прямой, если эта прямая проходит через середину отрезка между ними и перпендикулярна ему. Значит, точки находятся по разные стороны прямой на одинаковом расстоянии. Это определение помогает точно описать отражение, а не полагаться только на то, как оно выглядит.

Ось симметрии фигуры — прямая, относительно которой точки фигуры переходят в симметричные точки той же фигуры. Иначе говоря, отражённая фигура совпадает с исходной. Понятие оси нужно, чтобы находить и проверять симметрию целой фигуры, а не одной пары точек.

При симметрии относительно точки две точки лежат на одной прямой с этой точкой, а сама точка является серединой отрезка между ними. Её называют центром симметрии для этой пары. Такое определение позволяет построить образ точки, даже если никакой прямой оси нет.

Центр симметрии фигуры — точка, относительно которой фигура переходит сама в себя. Каждой точке фигуры при этом соответствует другая точка такой же фигуры, а центр делит отрезок между ними пополам. Центр может располагаться как внутри фигуры, так и за её пределами.

Как это устроено

Представь лист с точкой и сложи его по прямой. Если точка при сгибании совпала со своим отражением, обе точки оказались на одинаковом расстоянии от линии сгиба: иначе одна из них не дошла бы до другой или перешла бы дальше. Отрезок между точками направлен поперёк сгиба, поэтому линия сгиба пересекает его под прямым углом. Она проходит ровно посередине этого отрезка.

Чтобы построить отражение точки относительно прямой, сначала нужно найти кратчайший путь от точки до прямой — он проходит по перпендикуляру. Продли этот перпендикуляр на другую сторону прямой и отложи там отрезок той же длины. Так образ окажется на таком же расстоянии от прямой, а сама прямая будет серединным перпендикуляром к отрезку между точками. Например, если точка отстоит от прямой на 2 см, её образ нужно отметить в 2 см от прямой с другой стороны.

Для симметрии относительно точки проведи прямую через данную точку и центр. Отложи от центра в противоположную сторону отрезок той же длины: его конец и будет образом исходной точки. Так центр окажется точно посередине. Если исходная точка совпала с центром, её образ тоже совпадает с ней.

Симметрия сохраняет расстояния: соответствующие точки не становятся ближе или дальше друг от друга. Поэтому отрезки сохраняют длину, углы — величину, а фигура — форму и размеры. Меняется только положение частей: при отражении они оказываются по другую сторону оси, а при симметрии относительно точки — по другую сторону центра.

Проверить симметрию фигуры можно сгибанием по предполагаемой оси: совпадение частей подтверждает, что это ось. Если сгибать неудобно, можно мысленно отразить каждую точку и проверить, попадает ли её образ в фигуру. Для проверки центра нужно сопоставить точки по разные стороны от него и убедиться, что центр каждый раз оказывается серединой соединяющего их отрезка. Проверка нескольких заметных точек помогает обнаружить ошибку, но для уверенности нужно учитывать всю фигуру.

Симметрия относительно прямой и точки

Сначала определи, что задано: прямая или точка, — и выбери нужный способ проверки. Для прямой ищи перпендикуляр и равные расстояния по обе стороны, для точки — середину отрезка. Таблица помогает не путать два вида симметрии при построении.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображена фигура, сложенная из клеток. Определите, есть ли у неё ось симметрии, и проведите её, если она есть. По условию конкретное расположение клеток здесь не задано, поэтому проверим фигуру по общему правилу. Важно проверить всю фигуру, а не только её внешний контур.

1. Найди возможную прямую, которая могла бы делить фигуру на две зеркальные части. Она может проходить по линиям клеток или между ними.
2. Сопоставь клетки по разные стороны этой прямой: каждой клетке должна соответствовать клетка на таком же расстоянии с другой стороны.
3. Представь сгибание по прямой. Если все клетки совпадают, проведи эту прямую как ось; если хотя бы одна не совпадает, эта линия осью не является.

Ответ: ось симметрии есть, если части фигуры точно совпадают при сгибании; её проводят по проверенной линии. Без самого рисунка нельзя указать конкретное наличие оси и её положение. Такой способ позволяет решить задачу по любой фигуре из клеток.

Задача 2. Постройте точку, симметричную точке A относительно прямой l, если расстояние от A до l равно 2 см. Чтобы точки были симметричны, прямая l должна делить пополам отрезок между ними и быть ему перпендикулярна. Поэтому сначала строим такой отрезок, а не выбираем произвольное направление. Длина от A до l уже известна и равна 2 см.

1. Из точки A проведи перпендикуляр к прямой l и отметь место его пересечения с прямой.
2. Продли перпендикуляр за прямую l. На продолжении отложи от l отрезок длиной 2 см.
3. Обозначь конец отрезка точкой A′. Проверь: прямая l перпендикулярна AA′ и проходит через его середину.

Ответ: точка A′, расположенная по другую сторону l на расстоянии 2 см от неё, симметрична точке A. Если построение выполнено правильно, расстояния от обеих точек до прямой равны. Эти условия одновременно подтверждают и положение, и правильность образа.

Задача 3. Даны вершины треугольника и точка O. Постройте треугольник, симметричный данному относительно O, и объясните, почему построенные треугольники равны. Образ каждой вершины нужно построить отдельно, причём O должен быть серединой отрезка между вершиной и её образом. После этого соединяем новые вершины в том же порядке.

1. Проведи прямые через каждую вершину исходного треугольника и точку O.
2. На каждой прямой отметь за точкой O образ вершины так, чтобы расстояние от неё до O равнялось расстоянию от исходной вершины до O.
3. Соедини три полученные точки отрезками. Получившийся треугольник — образ исходного при симметрии относительно O.

Ответ: треугольники равны, потому что симметрия сохраняет расстояния между соответствующими точками. Значит, длины всех трёх сторон образа равны длинам сторон исходного треугольника. Форма и размеры треугольника не изменились, хотя его положение стало другим.

Типичные ошибки

Ошибка: считать осью любую линию, которая делит фигуру на две части. Части могут быть разными по форме или размеру, поэтому одного разделения недостаточно. Проверь себя сгибанием: если части не совпадают, линия не является осью симметрии.

Ошибка: откладывать при отражении от прямой разные расстояния от точки и её образа до оси. Так ось не окажется серединой отрезка, и точки не будут симметричными. Измерь оба расстояния до прямой и убедись, что они равны, а соединяющий точки отрезок перпендикулярен оси.

Ошибка: путать симметрию относительно прямой и относительно точки. При отражении относительно прямой ось перпендикулярна отрезку между точками, а при симметрии относительно точки середина этого отрезка совпадает с центром. Такое смешение возникает потому, что в обоих случаях пара точек связана равными расстояниями. Перед построением проверь, что задано: прямая или точка.

Ошибка: думать, что центр симметрии обязательно находится внутри фигуры. Центр задаёт соответствие точек, но сам может не принадлежать фигуре. Например, у кольца центр расположен в пустой середине. Проверь, что он делит пополам отрезки между соответствующими точками, а не ищи его только среди точек фигуры.

Связь с другими темами

Для работы с симметрией нужно уметь измерять и сравнивать отрезки, находить середину отрезка и распознавать перпендикулярные прямые. Эти навыки помогают строить образы точек точно, а не на глаз. Позже симметрия пригодится при изучении геометрических фигур, построений и свойств многоугольников. Она также объясняет устройство орнаментов, природных форм и изображений, в которых видны зеркальные части.

Что запомнить

• При симметрии относительно прямой ось перпендикулярна отрезку между симметричными точками и делит его пополам.
• При симметрии относительно точки эта точка — середина отрезка между симметричными точками.
• Ось симметрии переводит фигуру саму в себя.
• Центр симметрии переводит фигуру саму в себя.
• Симметричные фигуры сохраняют форму и размеры.
• Симметрию можно проверять сгибанием или построением симметричных точек.