"Математика (в 2 частях)", Рудницкая В.Н., Кочурова Е.Э., Рыдзе О.А.
Симметрия — свойство фигуры совпадать с самой собой после определённого преобразования. При осевой симметрии точки отражаются относительно прямой, а при центральной — относительно точки. Эти правила помогают строить образы фигур, находить их оси и центры симметрии и проверять, равны ли соответствующие части. Чтобы выполнить построение, нужно уметь проводить перпендикуляр и находить середину отрезка.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Симметрия фигуры — свойство фигуры совмещаться самой с собой при определённом преобразовании. Например, фигуру можно отразить относительно прямой или преобразовать относительно точки. Это понятие помогает описать, как устроены части фигуры и каким образом можно строить их образы.
Осевая симметрия означает, что соответствующие точки лежат по разные стороны от прямой на равных расстояниях, а отрезок между ними перпендикулярен этой прямой. Прямая называется осью отражения. Такое определение позволяет точно построить образ точки и проверить, действительно ли фигура симметрична относительно выбранной прямой.
Ось симметрии фигуры — прямая, относительно которой фигура симметрична сама себе. Если мысленно отразить фигуру относительно этой прямой, её части должны совместиться. Поиск оси помогает увидеть одинаково устроенные части фигуры и обосновать её свойства.
Центральная симметрия — преобразование, при котором соответствующие точка и её образ лежат на одной прямой с центром симметрии, а центр является серединой отрезка между ними. Иными словами, от центра до исходной точки и до её образа одинаковые расстояния. Это правило используют, чтобы построить образ точки или всей фигуры относительно заданного центра.
Чтобы построить точку, симметричную точке A относительно прямой, сначала проведи из A перпендикуляр к этой прямой. Перпендикуляр нужен потому, что именно вдоль него измеряется кратчайшее расстояние от точки до прямой. Отметь место пересечения перпендикуляра с прямой, а затем отложи от неё на другой стороне отрезок такой же длины. Конец этого отрезка и будет образом точки A: обе точки находятся на одинаковом расстоянии от прямой.
Точка, лежащая на оси, при отражении остаётся на месте. Расстояние от неё до оси равно нулю, поэтому на перпендикуляре к оси некуда отложить ненулевой отрезок на другой стороне. Если такую точку переместить, отражённая точка уже не совпадёт с исходной. Значит, все точки оси неподвижны при отражении относительно неё.
Для построения точки, симметричной точке A относительно центра O, проведи прямую через A и O. Продолжи её за центр и отложи от O расстояние, равное OA. Это нужно потому, что центр должен быть серединой отрезка, соединяющего A с образом: от него до обоих концов расстояния одинаковы. Полученная за центром точка и есть образ A.
Чтобы построить фигуру, найди образы всех её вершин по одному и тому же правилу симметрии. Затем соедини полученные точки в том же порядке, в каком были соединены исходные вершины: так сохраняются стороны и соседство вершин. Если исходная фигура — многоугольник, достаточно построить образы его вершин, потому что между соседними вершинами проходят его стороны. Получившаяся фигура равна исходной, хотя может быть расположена по-другому.
Осевая и центральная симметрия различаются тем, относительно чего выполняется преобразование. В первом случае отражение происходит относительно прямой, а соответствующие точки находятся по её разные стороны. Во втором случае преобразование задаётся точкой: образ оказывается на продолжении прямой через исходную точку и центр. Поэтому центральную симметрию можно представить как поворот на 180° вокруг центра, а осевую — как зеркальное отражение относительно оси.
| Что сравниваем | Осевая симметрия | Центральная симметрия |
|---|---|---|
| Что задаёт симметрию | Прямая — ось симметрии | Точка — центр симметрии |
| Как расположены точка и её образ | По разные стороны от оси на равных расстояниях; отрезок между ними перпендикулярен оси | На одной прямой с центром; центр — середина отрезка между точкой и образом |
| Какие точки остаются на месте | Точки, лежащие на оси | Только центр симметрии |
| Как построить образ точки | Провести перпендикуляр к оси и отложить равное расстояние на другой стороне | Провести прямую через точку и центр и отложить за центром равное расстояние |
| Пример фигуры с такой симметрией | Равнобедренный треугольник имеет ось симметрии | Параллелограмм имеет центр симметрии — точку пересечения диагоналей |
Сначала определи, что задано: прямая или точка. Затем сравни положение точки и её образа с нужным столбцом: расстояния и направление построения у двух видов симметрии различаются. Примеры в последней строке помогают увидеть, что одна фигура может обладать осевой симметрией, а другая — центральной.
Требуется отразить точку относительно прямой, поэтому нужно обеспечить два условия: равные расстояния до прямой и перпендикулярность отрезка между точкой и образом. Используем линейку и угольник или циркуль с линейкой. Порядок действий помогает не перепутать расстояние до прямой с расстоянием по произвольному направлению.
Ответ: точка A′, построенная на перпендикуляре по другую сторону прямой так, что HA′ = HA.
Центральная симметрия задаётся точкой O, поэтому этот центр должен стать серединой отрезка между каждой вершиной и её образом. Треугольник имеет три вершины, значит, нужно построить три образа. После этого важно соединить их в соответствующей последовательности, иначе стороны могут оказаться соединёнными неверно.
Ответ: треугольник A′B′C′, симметричный данному относительно точки O.
Для оси проверяют, совместится ли фигура с собой при отражении относительно прямой. Для центра проверяют, совместится ли она с собой при повороте на 180° вокруг точки; это равносильно центральной симметрии. Проверять нужно всю фигуру, а не только одну удачно расположенную вершину: каждой её части должна соответствовать часть того же размера и формы.
Ответ: укажи ось и/или центр только тогда, когда преобразование совмещает с фигурой все её части.
Откладывают расстояние до оси не по перпендикуляру. Часто выбирают удобное направление на глаз и получают точку, которая находится от оси дальше или ближе, чем исходная. Проверь, что соединяющий точку и образ отрезок образует с осью прямой угол; именно этот отрезок задаёт расстояние до прямой.
При центральной симметрии считают центр серединой расстояния от точки до центра. В результате образ не оказывается на противоположной стороне центра на нужном расстоянии. Серединой должен быть центр симметрии, а не часть отрезка от исходной точки до центра. Проведи прямую через исходную точку и центр и проверь, равны ли отрезки от центра до точки и до её образа.
Путают ось симметрии с центром симметрии. Это происходит из-за похожих слов, хотя в одном случае задана прямая, а в другом — точка. Если для построения требуется перпендикуляр к прямой, речь идёт об осевой симметрии; если нужно, чтобы заданная точка была серединой отрезка, — о центральной. Перед построением назови, что именно задано: ось или центр.
Строят образ фигуры, не сохраняя порядок вершин. Такое случается, когда образы вершин находят отдельно и соединяют их в произвольном порядке. В результате могут получиться пересекающиеся отрезки или фигура с неверными сторонами. Подписывай образы соответствующими буквами и соединяй A′ с B′, B′ с C′ и так далее по порядку исходных вершин.
Для построений симметричных точек нужны навыки проведения перпендикуляра и нахождения середины отрезка. Симметрия помогает описывать свойства геометрических фигур, сравнивать их части и обосновывать построения. Позже эта идея пригодится при изучении координат, преобразований фигур и свойств многоугольников: с её помощью можно определять положение образа и исследовать, какие свойства фигуры сохраняются.
Чем осевая симметрия отличается от центральной?
При осевой симметрии точки отражаются относительно прямой: она проходит через середину отрезка между точкой и её образом под прямым углом. При центральной симметрии точки и их образы лежат на одной прямой, а центр является серединой соединяющего их отрезка.
Как построить точку, симметричную данной относительно прямой?
Через данную точку проведи перпендикуляр к прямой. На другой стороне прямой отложи по этому перпендикуляру отрезок той же длины, что и расстояние от точки до прямой. Полученная точка будет симметричным образом.
Как проверить, является ли прямая осью симметрии фигуры?
Представь, что фигуру отражают относительно этой прямой. Если после отражения она полностью совмещается с исходной, прямая является осью симметрии. При этом каждой точке фигуры должна соответствовать точка на таком же расстоянии по другую сторону прямой.
Может ли фигура иметь несколько осей симметрии?
Да, у одной фигуры может быть несколько осей симметрии. Например, у квадрата их четыре: две диагонали и две прямые, проходящие через середины противоположных сторон. Каждая такая прямая при отражении совмещает квадрат с самим собой.
Как построить фигуру, симметричную данной относительно точки?
Для каждой вершины проведи прямую через неё и заданный центр. За центром отметь образ вершины так, чтобы центр был серединой отрезка между вершиной и её образом. Затем соедини образы вершин в том же порядке, что и в исходной фигуре.
Симметрия
