Оси симметрии фигуры

Определения и обозначения

Фигура симметрична относительно прямой, если при отражении относительно этой прямой она переходит сама в себя. Иначе говоря, после отражения все точки фигуры занимают места, которые тоже принадлежат этой фигуре. Это определение помогает отличить настоящую симметрию от простого разделения фигуры на части.

Ось симметрии фигуры — прямая, относительно которой фигура симметрична. Её часто обозначают маленькой латинской буквой, например l. Зная, что прямая является осью, можно проверить, какие части фигуры соответствуют друг другу, и точнее описать её форму.

Точки называются симметричными относительно прямой, если эта прямая проходит через середину отрезка, соединяющего точки, и перпендикулярна ему. Значит, точки находятся по разные стороны прямой на одинаковом расстоянии от неё. Это правило нужно, чтобы строить отражённую точку и проверять, правильно ли она построена.

Как это устроено

Симметричность фигуры можно проверить сгибанием листа по предполагаемой оси. Если после сгиба одна часть точно накрывает другую, значит, соответствующие точки оказались в одинаковых местах. Если края или отдельные элементы не совпали, такая прямая не является осью: отражение должно сохранять всю фигуру, а не только её общий вид.

Прямая сгиба служит осью потому, что сгиб переносит каждую точку на место, равноудалённое от линии сгиба по другую сторону. Точка на самой линии остаётся на месте, а точке за сгибом соответствует точка на другой стороне. Поэтому при совпадении обеих частей после сгиба отражение каждой точки фигуры попадает внутрь этой же фигуры.

Чтобы построить точку, симметричную точке A относительно прямой l, сначала проведите из A перпендикуляр к l. Отрезок от A до точки пересечения с l показывает расстояние от исходной точки до оси, потому что кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру. От точки пересечения отложите такое же расстояние по другую сторону l и обозначьте конец отрезка A′. Тогда l проходит через середину AA′ и перпендикулярна ему, поэтому A и A′ симметричны.

Количество осей зависит от формы фигуры: у неё может не оказаться ни одной оси, может быть одна или несколько, а у некоторых фигур осей бесконечно много. Например, прямоугольник имеет две оси, а окружность — любую прямую, проходящую через её центр. Это происходит потому, что при отражении вокруг центра окружности точки границы остаются на окружности при любом направлении такой прямой.

Ось не обязана проходить через вершины фигуры. У прямоугольника оси проходят через середины противоположных сторон, а у равнобедренного треугольника — через вершину и середину основания. Число и положение осей определяются тем, какие части фигуры могут точно совпасть при отражении; поэтому даже похожие на вид фигуры могут иметь разное число осей.

Оси симметрии некоторых фигур

Сверяйтесь с таблицей, когда нужно определить число осей у знакомой фигуры. Обратите внимание не только на количество, но и на то, где именно проходят оси. Указанное расположение позволяет проверить ответ отражением или сгибанием.

Разбор задач

1. Проверяем ось отрезка

На рисунке изображён отрезок AB и прямая l. Определите, является ли l осью симметрии отрезка. Сам рисунок не задан, поэтому ответ зависит от положения l относительно AB. Проверка основана на том, что при отражении концы отрезка должны поменяться местами или остаться на месте, а весь отрезок — совпасть с собой.

1. Найдите середину отрезка AB и проверьте, проходит ли через неё прямая l.
2. Проверьте, перпендикулярна ли l отрезку AB. Если оба условия выполнены, отражение переводит A в B, а B в A.
3. Также осью отрезка является прямая, содержащая сам отрезок: при таком отражении каждая его точка остаётся на месте.

Ответ: l является осью, если она — перпендикуляр к AB через его середину или прямая, содержащая AB. Если l проходит через середину, но не перпендикулярна отрезку, концы не поменяются местами правильным образом. Поэтому одного пересечения с серединой недостаточно.

2. Строим симметричную точку

Постройте точку, симметричную точке A относительно прямой l, и проверьте построение. Чтобы отражение было точным, расстояние нужно откладывать не в произвольном направлении, а по перпендикуляру к оси. Иначе прямая l не будет проходить через середину отрезка между точками под прямым углом.

1. Проведите из A перпендикуляр к l и обозначьте точку пересечения через H.
2. Измерьте длину AH. На продолжении прямой AH за l отложите от H отрезок такой же длины.
3. Обозначьте конец отрезка A′. Проверьте, что AH = HA′ и AH перпендикулярен l.

Ответ: полученная точка A′ симметрична A относительно l. Проверка показывает, что l проходит через середину AA′ и перпендикулярна этому отрезку. Именно эти два условия определяют симметричное положение точек.

3. Находим все оси квадрата

Найдите все оси симметрии квадрата и докажите, что других осей у него нет. Сначала удобно проверить линии, которые явно делят квадрат на одинаковые части. Затем надо объяснить, почему произвольная прямая, не входящая в этот список, не может сохранить совпадение всех сторон и вершин.

1. Проведите обе диагонали. Отражение относительно каждой диагонали меняет местами две пары вершин и переводит квадрат в себя.
2. Проведите прямые через середины каждой пары противоположных сторон. Отражение относительно каждой такой прямой меняет местами вершины по разные стороны оси, а сама фигура совпадает.
3. У квадрата четыре вершины. Ось должна переводить их в вершины квадрата, сохраняя расстояния между ними и прямые углы. При отражении возможны оси через противоположные вершины или через середины противоположных сторон; другие положения не сохраняют расположение всех вершин.

Ответ: у квадрата четыре оси симметрии: две диагонали и две прямые через середины противоположных сторон. Проверка всех допустимых расположений относительно вершин показывает, что иных осей нет.

Типичные ошибки

Считать осью любую прямую, которая делит фигуру на две части, — ошибка. Иногда так думают, потому что видят разделение на две области, но сами области могут не совпасть при отражении. Проверьте себя сгибанием или мысленным отражением: контуры и все элементы должны наложиться друг на друга.

При построении симметричной точки нельзя откладывать расстояние до оси по наклонному отрезку. Ошибка возникает, когда расстоянием считают длину любого соединяющего отрезка, хотя расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру. Проверьте построение: отрезок между точками должен пересекать ось под прямым углом, а его середина должна лежать на оси.

Равенство площадей двух частей не означает, что прямая — ось симметрии. Части могут иметь одинаковую площадь, но разные очертания, поэтому при отражении не совпадут; площадь сама по себе не описывает форму. Чтобы проверить себя, сравните части по контуру или выполните сгиб: требуется полное наложение, а не только равные площади.

Найти одну ось и остановиться — значит не всегда решить задачу полностью. Так поступают, если первая найденная ось кажется очевидной, но у фигуры могут быть и другие, в том числе бесконечно много. Проверьте все возможные направления и расположения; для знакомой фигуры сверяйтесь с её свойствами, а для рисунка последовательно испытывайте кандидаты на ось.

Связь с другими темами

Для работы с симметрией нужно уметь строить перпендикулярные прямые, находить середину отрезка и измерять расстояние от точки до прямой. Эти знания позволяют точно построить пару симметричных точек и обосновать, почему прямая является осью. Осевая симметрия пригодится при изучении геометрических преобразований и при построении фигур: с её помощью можно анализировать форму и проверять свойства объектов.

Что запомнить

• Ось симметрии — прямая, относительно которой фигура переходит сама в себя.
• При отражении симметричные точки лежат на перпендикуляре к оси и находятся от неё на равных расстояниях.
• Ось симметрии делит фигуру на совпадающие при отражении части.
• У фигуры может быть ни одной, одна, несколько или бесконечно много осей симметрии.
• Чтобы найти все оси, нужно проверить все возможные прямые, относительно которых фигура совпадает сама с собой.