32. Симметрия помогает решать задачи

Определения и обозначения

Симметричные фигуры — фигуры, которые совмещаются при наложении. Иногда для этого одну часть нужно мысленно отразить, словно в зеркале. Понятие помогает распознавать одинаковые части рисунка, даже если они расположены по-разному.

Ось симметрии — прямая, относительно которой фигура при отражении переходит сама в себя. Она разделяет фигуру на части, которые совпадут, если одну из них отразить. Поиск такой прямой позволяет увидеть равные части и соответствующие точки.

Отражение относительно прямой — соответствие, при котором каждой точке отвечает точка по другую сторону прямой и на таком же расстоянии от неё. Эти две точки и их середина лежат на одном перпендикуляре к прямой. Это правило нужно, чтобы точно строить зеркальный образ.

Центр симметрии — точка, относительно которой соответствующие точки фигуры лежат на одной прямой по разные стороны и равноудалены от неё. Такая точка является серединой отрезка между точкой и её образом. Это определение помогает узнавать симметрию не относительно прямой, а относительно точки.

Как это устроено

Чтобы отразить точку относительно прямой, сначала проведи из неё перпендикуляр к этой прямой. Затем продолжи перпендикуляр за прямую и отложи на нём расстояние, равное расстоянию от исходной точки до прямой. Полученная точка и будет образом: прямая проходит ровно посередине между ними. Если отложить расстояние в сторону, а не по перпендикуляру, точки не образуют правильную зеркальную пару.

При отражении фигура не растягивается и не сжимается, потому что все её точки перемещаются на равные расстояния от оси. Расстояние между любыми двумя точками сохраняется, а значит, сохраняются длины отрезков. Угол тоже остаётся прежним: отражаются обе его стороны, но величина между ними не меняется. Поэтому симметричные части имеют одинаковую форму и размеры, хотя направлены по-разному.

Чтобы найти ось на рисунке, сначала предположи, где она может проходить: например, между двумя похожими частями фигуры. Выбери несколько точек с одной стороны и найди для каждой точку напротив с другой стороны. Если соединяющие их отрезки перпендикулярны предполагаемой оси, а расстояния до неё равны, проверка проходит. Но нужно проверить все характерные части рисунка: совпадение только одной пары точек ещё не доказывает симметрию всей фигуры.

Симметрия позволяет заменить часть задачи работой с равной частью. Если известен отрезок в одной половине рисунка, можно найти ему соответствующий отрезок в другой половине и использовать его длину. Так вместо измерения или сложного подсчёта достаточно рассмотреть ту сторону, где данные заметнее. Для этого сначала устанавливают, какие именно точки и отрезки соответствуют друг другу.

Симметричное расположение помогает и при подсчёте, и при построении. Например, если узор повторяется зеркально, можно сосчитать элементы с одной стороны оси и учесть, что столько же находится с другой. При построении достаточно точно выполнить одну часть, а затем перенести каждую её точку на другую сторону на равное расстояние по перпендикуляру. Такой способ уменьшает число действий и помогает не нарушить форму.

Симметрия относительно прямой и относительно точки

В таблице собраны признаки двух видов симметрии. Пользуйся строкой «Как строится образ точки», чтобы выбрать способ построения, а строкой «Как проверить симметрию фигуры» — чтобы проверить весь рисунок. При проверке не ограничивайся одной точкой: сопоставь все важные части.

Разбор задач

На клетчатой бумаге дана точка и прямая. Нужно построить точку, симметричную данной относительно прямой. Расстояние от точки до прямой на клетчатой бумаге удобно считать в клетках, но считать их следует по перпендикуляру. Тогда образ окажется на нужном месте, даже если прямая наклонная.

1. Найди кратчайшее расстояние от исходной точки до прямой: проведи к ней перпендикуляр.
2. Продолжи этот перпендикуляр на другую сторону прямой. От точки пересечения с прямой отсчитай столько же клеток, сколько было до исходной точки.
3. Отметь конец отрезка. Проверь построение: прямая должна пересекать отрезок между точками под прямым углом и делить его пополам.

Полученная отметка — симметричная точка. Проверка подтверждает, что исходная точка и её образ находятся по разные стороны от прямой на равном расстоянии.

Дана фигура на клетчатой бумаге. Нужно найти её ось симметрии и указать пары соответствующих вершин. Начни с похожих выступов или углов: их положение часто подсказывает, где проходит ось. Затем проверь предположение по расстояниям до неё, а не только по общему виду.

1. Проведи предполагаемую прямую между похожими частями фигуры.
2. Для каждой выбранной вершины с одной стороны найди вершину напротив. Убедись, что соединяющий их отрезок перпендикулярен оси, а расстояния вершин до оси одинаковы.
3. Повтори проверку для остальных вершин. Запиши пары, например: вершина А соответствует вершине А′, вершина Б — вершине Б′.

Если все части совпадают при отражении, предполагаемая прямая — ось симметрии, а записанные вершины образуют пары. Если хотя бы одна характерная вершина не находит соответствующую точку, проверь положение оси ещё раз.

На рисунке есть симметричные части и отмечены некоторые длины. Требуется найти неизвестную длину. Здесь не нужно измерять отрезок линейкой, если для него можно найти соответствующий отрезок на другой стороне оси. Симметрия подсказывает равенство, а числа на рисунке позволяют получить ответ.

1. Определи ось и найди отрезок, симметричный искомому. Сверь его концы с соответствующими точками на другой стороне.
2. Запиши равенство длин: при отражении соответствующие отрезки сохраняют длину. Например, если искомый отрезок соответствует отрезку длиной 4 см, то искомая длина тоже 4 см.
3. Если соответствующий отрезок не подписан, вырази его длину через известные отрезки на этой половине фигуры, выполни нужное сложение или вычитание и перенеси результат на искомую сторону.

Ответ получают из равенства соответствующих отрезков и данных рисунка. Перед записью ответа проверь, что сопоставлены именно концы искомого отрезка, а не просто похожий отрезок рядом.

Типичные ошибки

• Считать осью симметрии любую прямую, проходящую через середину фигуры. Так можно подумать, потому что линия выглядит как разделитель, но этого недостаточно: части должны совпадать при отражении. Проверь несколько пар соответствующих точек и убедись, что обе части полностью совмещаются.

• Откладывать расстояние до оси не по перпендикуляру. На клетчатой бумаге легко начать считать клетки в удобном направлении, однако тогда образ не окажется на кратчайшем расстоянии напротив точки. Проведи перпендикуляр и отложи расстояние именно вдоль него.

• Полагать, что симметричные части обязаны стоять рядом или смотреть в одну сторону. При отражении часть может выглядеть зеркально перевёрнутой, поэтому сравнения «на глаз» бывает мало. Мысленно отрази её через ось или проверь расположение соответствующих точек.

• Считать, что равенства отдельных длин достаточно для доказательства симметрии всей фигуры. Отдельные отрезки могут быть равными случайно, а остальные точки не совпасть. Составь пары соответствующих точек и проверь их положение относительно оси или центра.

Связь с другими темами

Для построений нужны умение измерять и сравнивать отрезки, проводить перпендикуляр и ориентироваться на клетчатой бумаге. Позже симметрия поможет изучать свойства фигур и решать задачи на равенство отрезков и углов. Она встречается не только в геометрических чертежах, но и в орнаментах и предметах вокруг нас. Рассматривая такие примеры, можно учиться замечать оси и повторяющиеся части.

Что запомнить

• При отражении относительно прямой соответствующие точки равноудалены от этой прямой.
• Отрезок, соединяющий точку и её образ, перпендикулярен оси симметрии.
• Симметрия сохраняет расстояния и величины углов.
• Ось симметрии делит фигуру на части, совпадающие при отражении.
• Симметричное соответствие можно использовать для переноса известных длин и углов.