33. Одно важное свойство окружности

Определения и обозначения

Окружность — линия, состоящая из точек, равноудалённых от центра. Центр — точка, от которой до каждой точки окружности одно и то же расстояние. Это расстояние называют радиусом, и оно помогает описывать размер окружности.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Например, если отметить на окружности точки A и B и соединить их, получится хорда AB. Концы хорды должны лежать именно на окружности, а её длина понадобится в задачах о свойствах окружности.

Перпендикуляр к хорде из центра — отрезок, проведённый из центра окружности к хорде под прямым углом. Прямой угол равен 90°, поэтому такой отрезок встречает хорду не наклонно, а под прямым углом. Это условие важно: свойство деления хорды пополам относится именно к перпендикуляру.

Середина хорды — точка хорды, которая делит её на два равных отрезка. Если точка M — середина AB, то AM и MB имеют одинаковую длину. Понимание этого обозначения позволяет сразу перейти от всей хорды к её половине при решении задач.

Как это устроено

Пусть A и B — концы хорды, а O — центр окружности. Соединим O с точками A и B: OA и OB — радиусы одной окружности, поэтому они равны. Треугольник OAB получается равнобедренным, а хорда AB становится его основанием. Именно равенство радиусов даёт основание для дальнейшего рассуждения.

Проведём из вершины O перпендикуляр к основанию AB и обозначим точку пересечения через M. Отрезки OM и AB образуют прямые углы, поэтому треугольники OMA и OMB прямоугольные. У них равны гипотенузы OA и OB, а сторона OM общая, следовательно, эти треугольники равны. Значит, соответствующие части основания, AM и MB, тоже равны.

Получается, что перпендикуляр из центра проходит через середину хорды и делит её пополам. Тот же вывод можно сформулировать через равнобедренный треугольник: высота, опущенная из вершины к основанию, одновременно служит медианой. Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Это свойство полезно, когда требуется найти хорду по радиусу и расстоянию от центра до неё. Перпендикуляр делит хорду на две равные части, а вместе с половиной хорды и радиусом образует прямоугольный треугольник. Радиус в этом треугольнике — гипотенуза, а расстояние до хорды и половина хорды — катеты. Поэтому можно применить теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Верно и обратное рассуждение: если прямая из центра проходит через середину хорды, то она перпендикулярна этой хорде. Действительно, радиусы к концам хорды равны, а отрезки от середины до этих концов тоже равны. Получаются два равных треугольника, и углы при точке пересечения с хордой равны. Так как они образуют развернутый угол, каждый из них прямой.

Как перпендикуляр из центра связан с хордой

Сначала найди в условии, что именно проведено из центра: перпендикуляр или просто отрезок. Затем определи, какое свойство можно применить: разделение хорды пополам или обратное утверждение. Если в задаче есть длины, отметь на схеме половину хорды и используй её в вычислениях.

Разбор задач

Задача 1. Из центра окружности проведён перпендикуляр к хорде. Он пересекает её в точке M. Объяснить, как расположена точка M на хорде. Здесь важно заметить не только наличие отрезка из центра, но и то, что он перпендикулярен хорде.

1. Обозначим концы хорды буквами A и B, а центр окружности — O.
2. По условию OM перпендикулярен AB, а точка M лежит на хорде.
3. Применяем свойство: перпендикуляр из центра окружности к хорде проходит через её середину.

Ответ: M — середина хорды AB, поэтому AM = MB. Это вывод следует из перпендикулярности, а не просто из того, что отрезок начинается в центре. Если бы угол между отрезком и хордой не был прямым, такое заключение сделать было бы нельзя.

Задача 2. Хорда имеет длину 14 см, а перпендикуляр из центра пересекает её в точке M. Найти отрезки хорды по обе стороны от M. В условии дана вся длина хорды, но точка M делит её на две равные части. Значит, достаточно разделить известную длину пополам.

1. Перпендикуляр проведён из центра к хорде, поэтому M — середина хорды.
2. Обозначим длину каждого отрезка через x. Тогда x + x = 14 см.
3. Разделим 14 на 2: x = 7 см.

Ответ: отрезки по обе стороны от M равны 7 см и 7 см. Проверка: 7 + 7 = 14 см, то есть их сумма совпадает с длиной всей хорды. Делить пополам нужно именно потому, что OM перпендикулярен хорде.

Задача 3. Радиус окружности равен 13 см, расстояние от центра до хорды — 5 см. Найти длину хорды. Обозначим основание перпендикуляра буквой M, а конец радиуса на хорде — буквой A. По свойству AM составляет половину хорды, а OMA — прямоугольный треугольник с гипотенузой OA = 13 см.

1. Запишем теорему Пифагора: OA² = OM² + AM².
2. Подставим известные длины: 13² = 5² + AM², поэтому AM² = 169 − 25 = 144.
3. Значит, AM = 12 см. Хорда состоит из двух таких отрезков, поэтому её длина равна 2 · 12 = 24 см.

Ответ: 24 см. Мы сначала нашли половину хорды, потому что именно она входит в прямоугольный треугольник. В конце удвоили результат, чтобы получить длину всей хорды.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что любой отрезок из центра к хорде делит её пополам. Так могут подумать, потому что центр кажется особой точкой окружности, но решающее значение имеет прямой угол. Проверь условие: если нет слов «перпендикуляр» или указания на угол 90°, деление пополам не доказано.

Ошибка: подставлять в вычисление всю длину хорды вместо половины. Это происходит, когда забывают, что перпендикуляр проходит через середину. Перед применением теоремы Пифагора обозначь на схеме точку M и найди AM как половину AB.

Ошибка: путать радиус с расстоянием от центра до хорды. Радиус идёт от центра до точки окружности, а расстояние до хорды измеряется по перпендикуляру от центра до самой хорды. Проверь, что в прямоугольном треугольнике радиус является гипотенузой, а расстояние до хорды — одним из катетов.

Ошибка: применять свойство к отрезку, который не является хордой. Иногда достаточно увидеть линию рядом с окружностью, чтобы принять её за хорду, но хорда должна соединять две точки самой окружности. Проверь оба конца отрезка: если хотя бы один не лежит на окружности, это не хорда.

Связь с другими темами

Для понимания свойства нужны представления об окружности, центре и радиусе, а также умение распознавать прямой угол. Эти понятия помогают отличить перпендикуляр к хорде от любого другого отрезка. Свойство применяют, когда находят длину хорды, радиус или расстояние от центра до хорды.

В вычислениях появляется прямоугольный треугольник, поэтому тема связана с теоремой Пифагора. Кроме того, деление хорды пополам подготавливает к изучению других свойств хорд. Такие знания помогают решать геометрические задачи, в которых нужно связать окружность и прямоугольные треугольники.

Что запомнить

• Хорда соединяет две точки окружности.
• Радиусы, проведённые к концам хорды, равны.
• Перпендикуляр из центра к хорде проходит через её середину.
• Такой перпендикуляр делит хорду на две равные части.
• Прямая из центра через середину хорды перпендикулярна хорде.
• При вычислениях сначала находят половину хорды.