3.8. Изображение рациональных чисел на координатной оси

Определения и обозначения

Рациональное число — число, которое можно записать дробью m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Обыкновенные дроби уже имеют такую запись, целое число можно представить, например, как 4/1. Конечные и периодические десятичные дроби тоже можно записать обыкновенной дробью, поэтому они также рациональные. Это понятие объединяет числа, которые мы будем изображать на одной оси.

Координатная ось — прямая, на которой выбраны начало отсчёта, положительное направление и единичный отрезок. Начало обозначают числом 0, а направление обычно показывают стрелкой вправо. Благодаря этим выборам положение каждого числа можно задавать одинаковым способом. Ось помогает наглядно сравнивать числа и видеть расстояния между ними.

Координата точки — число, которое показывает положение точки на координатной оси относительно начала отсчёта. Например, запись A(−2) означает, что точке A соответствует число −2. Координата учитывает и направление от нуля, и расстояние до него. По ней можно понять, где искать точку и как сравнить её с другими.

Единичный отрезок — отрезок, длина которого принята за единицу. Его откладывают от нуля, чтобы получить отметки 1, −1 и другие целые числа. Между целыми отметками этот отрезок можно делить на равные части. Поэтому единичный отрезок служит мерой и для дробных координат.

Как это устроено

Сначала на прямой отмечают начало отсчёта и называют его 0. Затем выбирают положительное направление, чаще всего вправо, и задают длину единичного отрезка. Без этих договорённостей нельзя однозначно понять, куда и на какое расстояние отложить число. Если единичный отрезок изменился, расстояния на рисунке тоже меняются, хотя сами координаты остаются прежними.

Положительное направление задаёт, где находятся числа больше нуля: они лежат справа от начала. Числа меньше нуля располагаются в противоположном направлении — слева. Так сохраняется порядок чисел: движение вправо означает увеличение координаты. Расстояние от точки до нуля показывает модуль координаты, а знак говорит, с какой стороны от нуля находится точка.

Чтобы изобразить дробь, знаменатель используют для деления единичного отрезка на равные части. Например, для дроби 3/4 отрезок от 0 до 1 делят на четыре части, а затем отсчитывают три части вправо. Знаменатель задаёт размер одной доли, числитель — количество таких долей. Так можно точно разместить дробь, а не оценивать её положение на глаз.

Целое число отмечают, откладывая от нуля целое число единичных отрезков в нужную сторону. Для десятичного числа удобно разделить отрезок между соседними целыми на десятые, сотые или другие подходящие части. Например, отметка 0,4 находится на четырёх десятых пути от 0 до 1. Способ деления выбирают так, чтобы шаг соответствовал разрядам числа.

Числа с одинаковым модулем и разными знаками находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него. Поэтому соответствующие точки зеркально расположены относительно нуля. А порядок чисел на прямой объясняет правило сравнения: правее — значит больше. Например, −2 правее −5, хотя его модуль меньше, потому что сравнивают сами числа, а не расстояния до нуля.

Как изобразить рациональное число на координатной оси

Сначала определите знак числа и выберите нужное направление, затем подберите деления по знаменателю или десятичной записи. После этого отсчитайте доли от нуля либо от целой части. Таблица помогает не перепутать направление и количество делений.

Разбор задач

Числа 2 и −3

Изобразим на координатной оси числа 2 и −3, если единичный отрезок равен 1 см. Поскольку координаты целые, дополнительных делений внутри единичного отрезка не требуется. Знак числа подскажет направление, а модуль — сколько сантиметров отложить. Сначала отметим ноль, чтобы от него вести отсчёт в обе стороны.

1. Проведём прямую, отметим на ней 0 и выберем направление вправо как положительное. Единичный отрезок длиной 1 см задаст расстояние между соседними целыми отметками. Это позволит выдержать одинаковый масштаб.

2. Для числа 2 отложим от нуля два единичных отрезка вправо. Полученная точка имеет координату 2. Для числа −3 отложим три единичных отрезка влево.

Ответ: точка с координатой 2 находится в 2 см справа от нуля, а точка с координатой −3 — в 3 см слева.

Числа 3/4, −1/2 и 1 1/4

Нужно отметить на одной оси 3/4, −1/2 и 1 1/4. В знаменателях встречаются 4 и 2, поэтому удобно разделить каждый единичный отрезок на четыре равные части. Тогда половина будет равна двум таким четвертям, и все точки можно разместить по общим делениям. Смешанное число 1 1/4 означает один целый отрезок и ещё одну четверть.

1. Отметим 0 и 1, затем разделим отрезок между ними на четыре равные части. Каждая часть соответствует 1/4. Продолжим такие же деления влево и вправо, чтобы масштаб не менялся.

2. Для 3/4 отсчитаем от нуля три четверти вправо. Для −1/2 учтём знак минус и отложим влево две четверти, поскольку 1/2 = 2/4.

3. Для 1 1/4 сначала пройдём один целый отрезок вправо, до отметки 1. Затем добавим ещё одну четверть. Проверим, что эта точка расположена правее 1, а −1/2 — левее нуля.

Ответ: точки расположены в порядке −1/2, 3/4, 1 1/4, если двигаться по оси слева направо.

Деления для координат −1/3 и 5/6

Точка A имеет координату −1/3, а единичный отрезок разделён на шесть равных частей. Нужно определить деление для A и отметить B с координатой 5/6. Чтобы сопоставить дроби с делениями, приведём их к знаменателю 6. Это удобно, потому что каждое деление соответствует одной шестой единичного отрезка.

1. Преобразуем −1/3: умножим числитель и знаменатель на 2 и получим −2/6. Значит, A находится на втором делении влево от нуля. Минус указывает направление отсчёта, а числитель 2 — количество делений.

2. Координата B уже записана в шестых: 5/6. От нуля отсчитаем пять делений вправо и поставим точку B. Здесь знак положительный, поэтому точка лежит справа.

3. Проверим положение: A должна находиться левее нуля, а B — между 0 и 1. Оба результата соответствуют знакам и величинам заданных координат.

Ответ: A находится на втором делении влево от нуля, B — на пятом делении вправо от нуля.

Типичные ошибки

Откладывать отрицательное число вправо от нуля. Так ошибаются, когда смотрят только на модуль и забывают знак. Для проверки сначала определите, больше ли число нуля: отрицательное число должно быть слева. Например, −3 откладывают влево, даже если расстояние равно трём единичным отрезкам.

Делить единичный отрезок на число частей, равное числителю. Числитель показывает, сколько долей нужно отсчитать, а знаменатель задаёт число равных частей. Путаница возникает, когда оба числа дроби воспринимают как команды для деления. Проверьте себя на 3/4: отрезок делят на четыре части, затем отсчитывают три.

Считать, что больший модуль всегда означает точку правее. Модуль показывает расстояние до нуля, но не направление. Поэтому −5 расположен левее −2 и является меньшим числом, хотя его модуль больше. Чтобы проверить сравнение, представьте точки на оси: правее находится большее число.

Отмечать дробь, не согласовав деления с масштабом. Это происходит, если длина единичного отрезка или шаг делений меняются по ходу построения. Тогда точка может оказаться не там, где показывает её координата. Проверьте, что соседние целые отстоят на один и тот же единичный отрезок, а каждая его часть равна выбранной доле.

Связь с другими темами

Для работы с координатной осью нужно уметь определять знак числа, находить его модуль и сравнивать целые и рациональные числа. Эти знания помогают выбрать направление и проверить, где должна находиться точка. Изображение чисел на оси, в свою очередь, помогает сравнивать дроби и десятичные числа, находить числа между двумя заданными и понимать координаты точек. Так числовые записи связываются с наглядным расположением на прямой.

Что запомнить

• Координатная ось имеет начало отсчёта, направление и единичный отрезок.
• Положительные числа располагаются справа от нуля, отрицательные — слева.
• Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей делят единичный отрезок.
• Числитель показывает, сколько долей нужно отложить от нуля.
• Числа с одинаковым модулем и противоположными знаками изображаются симметрично относительно нуля.
• Из двух чисел больше то, которое расположено правее на координатной оси.