"Математика", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Уравнение — это равенство с неизвестным числом, которое требуется найти. Главная задача — определить все значения неизвестного, превращающие равенство в верное. Для этого используют обратные действия и преобразования, одинаковые для обеих частей уравнения. Такие действия сохраняют корни, поэтому позволяют постепенно освободить неизвестное и затем проверить ответ подстановкой в исходное равенство.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — равенство с неизвестным, значение которого нужно найти. Неизвестное обычно обозначают буквой, например x или y. Уравнения нужны, чтобы записывать и решать задачи, в которых какое-то число заранее не известно.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством. Например, число 4 — корень уравнения x + 6 = 10, потому что после подстановки получается 4 + 6 = 10. По найденному корню можно понять, подходит ли ответ условию задачи.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Иногда подходит одно число, иногда несколько, а иногда ни одно. Поэтому после преобразований нужно не просто получить значение буквы, а убедиться, что перечислены все возможные ответы.
Равносильные уравнения — уравнения с одним и тем же множеством корней. Например, уравнения x + 5 = 9 и x = 4 равносильны, потому что оба имеют единственный корень 4. При решении стараются заменять исходное уравнение равносильным, но более простым.
Чтобы найти неизвестное в простом уравнении, сначала определяют действие, связывающее его с известными числами, а затем используют обратное действие. Например, в равенстве x + 8 = 15 неизвестное складывают с 8, поэтому для его нахождения вычитают 8. Обратное действие отменяет влияние известного числа и оставляет неизвестное отдельно.
Прибавление одного и того же числа к обеим частям уравнения сохраняет его корни. Если при некотором значении x левая часть равна правой, после одинакового увеличения обеих частей равенство всё равно останется верным. Кроме того, исходное уравнение можно восстановить вычитанием того же числа, поэтому новые корни не появляются и старые не теряются.
Вычитание одного и того же числа из обеих частей действует по той же причине. Разность между левой и правой частями не изменяется, если из обеих вычесть одинаковое число. Так можно убрать известное слагаемое около неизвестного: запись x + 8 = 15 превращается в x = 15 − 8.
Умножение обеих частей на одно и то же ненулевое число сохраняет корни, потому что равные числа после такого умножения остаются равными. Деление также допустимо только на число, не равное нулю: обратное умножение позволяет восстановить прежнее равенство. Если делить на выражение, которое может оказаться нулём, можно выполнить недопустимое действие или потерять возможные корни.
Решение проверяют подстановкой найденного значения в исходное уравнение, а не только в преобразованное. Исходная запись показывает, действительно ли ответ удовлетворяет условию задачи. После подстановки вычисляют обе части отдельно и сравнивают результаты: они должны быть одинаковыми.
| Преобразование | Что делаем с обеими частями | Зачем применяем |
|---|---|---|
| Прибавление числа | Прибавляем одно и то же число | Убираем отрицательное слагаемое или подготавливаем уравнение к упрощению |
| Вычитание числа | Вычитаем одно и то же число | Убираем известное слагаемое рядом с неизвестным |
| Умножение на ненулевое число | Умножаем обе части на одно и то же число, не равное нулю | Устраняем деление или дробные коэффициенты |
| Деление на ненулевое число | Делим обе части на одно и то же число, не равное нулю | Оставляем неизвестное с коэффициентом 1 |
Пользуйтесь таблицей как подсказкой: сначала определите, какое действие мешает оставить неизвестное одно. Затем выполните выбранное действие с левой и правой частями, не забывая о знаках.
Каждое преобразование должно быть допустимым. После получения ответа полезно сделать проверку в исходной записи, особенно если в решении были скобки, дроби или несколько действий.
Задача 1. Решите уравнение x + 8 = 15. Неизвестное увеличили на 8, поэтому нужно отменить сложение вычитанием. После нахождения x проверим результат в исходном равенстве.
Ответ: x = 7. Здесь вычитание 8 выполнено с обеих частей, поэтому полученное уравнение равносильно исходному.
Задача 2. Решите уравнение 5x − 7 = 18. Неизвестное сначала умножили на 5, а затем вычли 7, поэтому действия отменяем в обратном порядке. Сначала уберём вычитание, затем деление освободит x от множителя 5.
Ответ: x = 5. Оба преобразования обратимы, а проверка подтверждает, что найденное число является корнем.
Задача 3. Решите уравнение 3(x − 2) + 4 = 16. Сначала раскроем скобки, чтобы увидеть обычные действия с неизвестным. Затем последовательно уберём известные числа и коэффициент при x.
Ответ: x = 6. В каждом шаге неизвестное постепенно освобождается от действий, а равносильность сохраняется.
Слагаемое переносят в другую часть, но не меняют его знак. Так делают, потому что сокращённое правило запоминают без причины: на самом деле к обеим частям прибавляют противоположное число. Проверяйте себя записью действия, например x + 8 = 15 превращается в x = 15 − 8.
Умножают или делят только одну часть уравнения. Ошибка возникает из-за невнимательности к знаку равенства, но после такого шага равенство уже не обязано сохраняться. Следите, чтобы выбранное действие было записано и слева, и справа.
Делят на выражение, которое может быть равно нулю. Такое действие недопустимо, потому что деление на ноль не определено, а возможные значения неизвестного могут быть потеряны. Перед делением убедитесь, что делитель точно не равен нулю.
Не проверяют найденное значение в исходном уравнении. Ошибка в раскрытии скобок, знаке или вычислении тогда остаётся незамеченной. Подставьте ответ именно в первоначальную запись и сравните левую и правую части.
Для решения уравнений нужны действия с натуральными и дробными числами, порядок действий и правила раскрытия скобок. Если эти навыки отработаны, преобразования уравнения становятся последовательностью знакомых вычислений.
Уравнения помогают решать текстовые задачи, задачи на отношения и пропорции. Позднее эти приёмы станут основой для изучения линейных уравнений, где неизвестное также выделяют с помощью равносильных преобразований.
Что называют корнем уравнения?
Корень уравнения — это значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством. Например, число 7 является корнем уравнения x + 3 = 10, потому что 7 + 3 = 10.
Как понять, какое действие нужно выполнить, чтобы найти неизвестное?
Посмотрите, каким действием неизвестное связано с известным числом. Затем примените обратное действие: для сложения используют вычитание, для вычитания — сложение, для умножения — деление, а для деления — умножение.
Почему одно и то же число нужно прибавлять или вычитать из обеих частей?
Равенство сохраняется только тогда, когда к обеим его частям применяют одно и то же действие. Если изменить лишь одну часть, левая и правая стороны могут стать неравными.
Почему нельзя делить обе части уравнения на ноль?
Деление на ноль не имеет смысла: невозможно разделить число на ноль. Поэтому при преобразовании уравнения делитель должен быть отличен от нуля.
Как проверить, что найденное число действительно является корнем?
Нужно подставить найденное значение вместо неизвестного в исходное уравнение. Если после вычислений левая и правая части равны, число является корнем.
3.9. Уравнения
