"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Уравнение — это равенство, в котором есть неизвестное число. Его решают, чтобы найти все значения неизвестного, при которых равенство становится верным, или выяснить, что таких значений нет. Для решения уравнение постепенно упрощают: выполняют одинаковые действия с обеими частями, сохраняя его корни. Найденное значение обязательно проверяют подстановкой в исходную запись.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — это равенство, содержащее неизвестное число, обычно обозначенное буквой. Например, x + 4 = 9 — уравнение, потому что его истинность зависит от значения x. В числовом равенстве все числа известны, а в уравнении нужно выяснить, при каком значении неизвестного части равны.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством. Например, для x + 4 = 9 корнем является 5: после подстановки получается 5 + 4 = 9. Это понятие помогает отличить подходящее значение от тех, которые уравнению не удовлетворяют.
Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Иногда подходит одно значение, иногда несколько, а иногда ни одного. Поэтому недостаточно найти одно подходящее число: нужно быть уверенным, что другие корни не пропущены.
Равносильные уравнения — это уравнения с одним и тем же множеством корней. Например, x + 3 = 8 и x = 5 равносильны: корнем каждого является 5. Переход к равносильному уравнению позволяет упростить решение, не меняя его результата.
Подставляя предполагаемый корень в исходное равенство, мы проверяем, совпадают ли его левая и правая части. Если после подстановки получается верное числовое равенство, это подтверждает, что значение действительно является корнем. Проверять нужно именно исходную запись, потому что преобразования и вычисления могли содержать ошибку.
Чтобы решить уравнение, его преобразуют в более простое, но сохраняющее те же корни. Например, в x + 7 = 12 удобно убрать сложение с 7, вычитая это число из обеих частей. Так неизвестное постепенно отделяется от остальных чисел, а решение становится видимым.
Если к равным величинам прибавить одинаковое число, они останутся равными; то же верно при вычитании одинакового числа. Поэтому уравнение не меняет своих корней, когда одно и то же число прибавляют к обеим частям или вычитают из обеих. Если изменить только одну часть, исходное равенство может нарушиться, и множество корней изменится.
Умножение обеих частей на одно и то же число сохраняет равенство: равные величины после такого умножения остаются равными. Деление также сохраняет его, если делитель ненулевой, поскольку деление на такое число является обратным умножению действием. На ноль делить нельзя, поэтому это преобразование с нулевым делителем недопустимо.
Преобразования применяют по очереди, выбирая действие, которое упрощает уравнение: убирает слагаемое или избавляет от умножения неизвестного на число. Когда получается простое равенство с неизвестным, из него находят значение буквы. Затем это значение подставляют в первоначальную запись и сравнивают полученные части.
| Действие с обеими частями | Что можно сделать | Почему множество корней не меняется |
|---|---|---|
| Прибавить одно и то же число | Прибавить выбранное число к левой и правой частям | К равным величинам прибавляют равные числа, поэтому равенство сохраняется |
| Вычесть одно и то же число | Вычесть выбранное число из левой и правой частей | Из равных величин вычитают одно и то же, сохраняя равенство |
| Умножить на одно и то же число | Умножить левую и правую части на выбранное число | Умножение обеих равных частей на одно число сохраняет равенство |
| Разделить на одно и то же ненулевое число | Разделить левую и правую части на число, не равное нулю | Деление на ненулевое число обратимо и сохраняет равенство |
Пользуйся таблицей, чтобы выбрать действие, которое уберёт лишнее слагаемое или множитель. Каждый раз выполняй его с обеими частями уравнения. Перед делением обязательно убедись, что делитель не равен нулю.
Нужно найти число, к которому прибавили 7 и получили 12, а затем проверить ответ. Чтобы оставить неизвестное одно, отменим сложение обратным действием — вычитанием. Вычесть 7 необходимо из обеих частей, иначе равенство изменится.
Левая и правая части при подстановке равны, значит, найденное значение подходит. Ответ: x = 5.
Здесь неизвестное умножено на 4, поэтому нужно отменить умножение делением. Делим обе части на 4: это допустимо, так как 4 не равно нулю. После упрощения получим значение x и проверим его в первоначальной записи.
Проверка подтверждает, что значение обращает исходное равенство в верное. Ответ: x = 7.
Неизвестное находится в обеих частях, поэтому сначала соберём слагаемые с x в одной части. Вычтем 2x из обеих частей, а затем уберём прибавленное к неизвестному число 5. Каждый шаг сохраняет равенство, потому что одно действие выполняется с обеими частями.
Обе части после подстановки равны 23, поэтому значение подходит. Ответ: x = 6.
Выполняют действие только с одной частью равенства, например вычитают число слева, но не справа. Так можно получить запись, уже не равносильную исходному уравнению, потому что равновесие между частями нарушается. Чтобы себя проверить, записывай действие сразу для левой и правой частей.
Делят обе части на выражение или число, не проверив, что делитель ненулевой. Ошибка возникает, когда правило о делении применяют автоматически и забывают, что деление на ноль не определено. Перед этим шагом проверь делитель; делить можно только на ненулевое значение.
Считают, что число стало корнем, как только получили его в преобразованной записи. При этом незамеченная ошибка в вычислениях могла привести к неверному ответу. Подставь найденное значение в исходное уравнение и убедись, что обе части дают одно число.
При вычислениях или переносе слагаемых теряют корень либо записывают лишний ответ. Обычно это происходит из-за невнимательности к знакам или из-за того, что преобразование выполняют несимметрично. Перепроверь каждый шаг и выполни подстановку в исходную запись: она помогает обнаружить ошибку.
Для решения уравнений нужны знания о числовых равенствах и неизвестных, а также умение выполнять обратные арифметические действия. Например, сложение отменяют вычитанием, а умножение — делением на ненулевое число. Эти знания позволяют постепенно освобождать неизвестное от других чисел.
Уравнения помогают решать текстовые задачи. Неизвестную величину обозначают буквой, условие задачи переводят в равенство, а затем находят значение неизвестного. После решения полезно проверить, подходит ли результат смыслу задачи.
Умение сохранять равенство при преобразованиях понадобится и при изучении более сложных уравнений. Те же правила помогают менять форму записи, не меняя множество корней. Поэтому точность каждого шага важна и в дальнейшем.
Чем уравнение отличается от обычного равенства?
В числовом равенстве обе части уже содержат известные числа и выражения, поэтому можно определить, верно оно или нет. В уравнении есть неизвестное, и истинность равенства зависит от его значения.
Что называют корнем уравнения?
Корень уравнения — это значение неизвестного, при котором равенство становится верным. Например, в уравнении x + 2 = 5 корень — число 3.
Почему к обеим частям уравнения нужно применять одно и то же действие?
Равные величины остаются равными, если к ним прибавить или из них вычесть одно и то же число. Это позволяет упростить запись, не меняя значений неизвестного, которые подходят уравнению.
Можно ли делить обе части уравнения на ноль?
Нет, деление на ноль не определено. Поэтому обе части можно делить только на число, которое не равно нулю.
Зачем проверять найденный корень подстановкой?
Проверка показывает, превращает ли найденное число исходное равенство в верное. Она также помогает заметить ошибку в вычислениях или преобразованиях.
2.43. Уравнения
