"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Уравнение — это равенство с неизвестным, значение которого нужно найти. Оно помогает описывать числовые отношения и решать задачи, в том числе текстовые. Чтобы найти корень, уравнение преобразуют, выполняя одинаковые действия с обеими его частями. Перенос слагаемых, раскрытие скобок и приведение подобных позволяют выразить неизвестное, а подстановка найденного числа в исходное равенство помогает проверить ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — это равенство, содержащее неизвестное, например x + 3 = 10. В отличие от числового равенства, у которого обе части состоят из известных чисел, уравнение может быть верным только при определённых значениях неизвестного. Уравнения нужны, чтобы записывать отношения между величинами и находить неизвестные числа.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение превращается в верное равенство. Например, для x + 3 = 10 корнем будет 7, потому что 7 + 3 = 10. Понятие корня помогает отличить подходящее значение неизвестного от неподходящего.
Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Иногда неизвестное имеет одно подходящее значение, иногда — несколько, а иногда ни одно значение не делает равенство верным. Поэтому при решении нужно не просто получить число, но и выяснить, исчерпаны ли все возможные корни.
Равносильные уравнения — это уравнения с одинаковыми корнями. Их получают при решении, чтобы заменить исходную запись более простой, но не потерять подходящие значения неизвестного. Если преобразование сохраняет те же корни, найденное решение будет относиться и к исходному уравнению.
Чтобы проверить, является ли данное число корнем, подставь его вместо неизвестного и отдельно вычисли левую и правую части. Если получились одинаковые числа, равенство верно и значение подходит. Если части различаются, число не является корнем, даже если оно получилось в промежуточных вычислениях.
Равенство сохраняется, если к обеим его частям прибавить одно и то же число или вычесть его. То же верно при умножении либо делении обеих частей на одно и то же ненулевое число. Это позволяет менять запись уравнения так, чтобы неизвестное постепенно оказалось отдельно, а корни при этом не изменились.
Перенос слагаемого через знак равенства — короткая запись вычитания одного и того же слагаемого из обеих частей. Например, из x + 8 = 15 вычитают 8 с обеих сторон и получают x = 15 − 8. Поэтому слагаемое при переносе меняет знак: положительное становится отрицательным, а отрицательное — положительным.
Чтобы выразить неизвестное, сначала собирают содержащие его слагаемые в одной части, а известные числа — в другой. Затем выполняют обратное действие: сложению соответствует вычитание, умножению — деление, возведению в степень — извлечение корня, если это действие подходит к задаче. Например, если к неизвестному прибавили число, его нужно вычесть из обеих частей, чтобы оставить неизвестное одно.
После преобразований найденное значение подставляют именно в исходное уравнение. Так можно проверить, равны ли его части и не появилась ли ошибка при раскрытии скобок, переносе или вычислениях. Проверка подтверждает, что найденное число действительно корень, а не только решение упрощённой записи.
| Преобразование | Что делаем с обеими частями | Пример |
|---|---|---|
| Перенос слагаемого | Прибавляем или вычитаем одно и то же слагаемое | x + 8 = 15 → x = 15 − 8 |
| Умножение или деление обеих частей на одно и то же ненулевое число | Выполняем выбранное действие слева и справа | 3x = 12 → x = 12 : 3 |
| Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых | Заменяем выражения равными им выражениями | 2(x + 3) = 2x + 6 |
| Проверка найденного корня | Подставляем значение в исходное уравнение и вычисляем обе части | Для x = 7: 7 + 8 = 15 |
Сначала выбирай преобразование, которое упрощает уравнение, и следи, чтобы оно сохраняло те же корни. Перенос слагаемых помогает собрать неизвестные и числа отдельно, а раскрытие скобок и приведение подобных упрощают выражения. В конце подставь найденное значение в исходную запись.
Нужно найти число, которое вместе с 8 даёт 15, и проверить ответ. Неизвестное складывают с известным числом, поэтому применяем обратное действие — вычитание. Проверку проведём в первоначальном уравнении, а не только в преобразованной записи.
Левая и правая части равны, следовательно, найденное значение подходит. Ответ: x = 7.
Неизвестное встречается с обеих сторон, поэтому сначала соберём слагаемые с x слева, а числа — справа. При переносе слагаемые меняют знак, потому что фактически мы вычитаем одно и то же с обеих частей. После этого приведём подобные слагаемые и выразим x.
При подстановке получаем 4 · 8 − 7 = 25 и 2 · 8 + 9 = 25. Части совпали, значит, корень найден верно. Ответ: x = 8.
Сначала раскроем скобки, умножив число перед каждой скобкой на каждое слагаемое внутри неё. Затем перенесём неизвестные в одну часть, а числа — в другую. Такой порядок превращает сложные выражения в уравнение, где неизвестное можно оставить одно.
Обе части после подстановки равны, поэтому найденное значение является корнем исходного уравнения. Ответ: x = 9.
При переносе слагаемого иногда оставляют прежний знак. Так происходит, если запомнить правило механически и забыть, что слагаемое вычитают из обеих частей. Для проверки запиши действие с обеими частями: например, при переносе +5 из левой части вычти 5 и слева, и справа.
Умножение или деление только одной части меняет значение равенства, поэтому полученное уравнение уже не обязано иметь те же корни. Ошибку допускают, когда выполняют действие лишь там, где оно кажется нужным. Сверь преобразование: одно и то же действие должно быть указано для левой и правой частей, а делить на ноль нельзя.
При раскрытии скобок множитель иногда умножают только на первое слагаемое или неверно учитывают минус перед скобками. Причина — спешка и невнимательность к каждому знаку. Раскрывай скобки по одному слагаемому: умножь внешний множитель на каждое выражение внутри и проверь полученную запись обратным вынесением общего множителя.
Найденное число нельзя считать корнем, пока оно не проверено в исходном уравнении. Ошибка могла появиться при вычислении или в одном из преобразований. Подставь число вместо неизвестного, вычисли обе части отдельно и убедись, что результаты совпали.
Для решения уравнений нужны навыки арифметических действий, раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. В текстовых задачах уравнение помогает записать условие коротко: неизвестную величину обозначают буквой и связывают её с известными числами. Понятия корня и равносильных преобразований пригодятся при изучении более сложных уравнений и систем, где неизвестных несколько.
Чем уравнение отличается от обычного равенства?
Числовое равенство содержит только числа и утверждает, что их значения одинаковы. В уравнении есть неизвестное, и равенство становится верным не при любом его значении.
Что называют корнем уравнения?
Корень уравнения — это значение неизвестного, при котором равенство становится верным. Его проверяют подстановкой в исходное уравнение.
Почему при переносе слагаемого меняется его знак?
Перенос — это сокращённая запись одного и того же действия с обеими частями уравнения. Чтобы убрать слагаемое из одной части, его вычитают из обеих, поэтому в другой части оно появляется с противоположным знаком.
Можно ли умножать или делить обе части уравнения на ноль?
Умножать обе части на ноль нельзя: получится равенство 0 = 0, которое не сохраняет информацию о корнях исходного уравнения. Делить на ноль нельзя, потому что такое действие не определено.
Зачем проверять найденный корень?
При преобразованиях и вычислениях можно допустить ошибку. Подстановка числа в исходное уравнение показывает, действительно ли его левая и правая части равны.
2.45. Уравнения
