"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Арифметические действия связывают числа и позволяют находить новые значения: складывать, вычитать, умножать и делить. У каждого действия есть свои компоненты и результат: например, в сложении слагаемые дают сумму, а при делении делимое делят на ненулевой делитель и получают частное. Зная связи между действиями, можно проверять вычисления и находить неизвестные числа. Скобки и правила порядка действий помогают правильно вычислять выражения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма — результат сложения, а числа, которые складывают, называются слагаемыми. Запись a + b означает, что к числу a прибавляют число b; знак «+» показывает действие. Такое обозначение помогает увидеть, какие числа соединяют и какой результат нужно найти.
Разность — результат вычитания. В записи a − b число a называют уменьшаемым, а число b — вычитаемым: из уменьшаемого вычитают вычитаемое. Порядок здесь важен, потому что перестановка чисел обычно меняет результат.
Произведение — результат умножения, а числа, которые умножают, называются множителями. Записывают a · b или короче ab. Такое обозначение удобно, когда нужно показать повторение одинаковых слагаемых или вычислить результат умножения чисел.
Частное — результат деления. В записи a : b или a / b число a называют делимым, а число b — делителем; делитель не должен быть равен нулю. Это обозначение показывает, какое число делят и на сколько равных частей или групп его распределяют.
Каждое арифметическое действие связывает два числа с результатом, а знак помогает понять, что именно нужно сделать. По записи 14 + 6 можно определить сложение и его слагаемые, а по записи 14 − 6 — вычитание, уменьшаемое и вычитаемое. Такое чтение выражения позволяет не путать компоненты и выбирать подходящий способ вычисления. Результат действия можно проверить, используя связь между действиями.
Сложение проверяют вычитанием, потому что сложение прибавляет слагаемое, а вычитание позволяет его убрать. Если 8 + 5 = 13, то 13 − 5 должно равняться 8, а 13 − 8 — 5. Умножение проверяют делением: если 4 · 6 = 24, то 24 : 6 = 4. Проверка обратным действием помогает обнаружить ошибку в вычислении, но делить при этом можно только на ненулевое число.
Деление на ноль не определено, потому что частное должно быть таким числом, которое при умножении на делитель даст делимое. Если делитель равен нулю, произведение любого числа на него равно нулю: получить ненулевое делимое невозможно. А если делимое тоже равно нулю, подойдёт любое число, поэтому единственного ответа нет. Значит, частное существует только при ненулевом делителе.
Скобки показывают, какие действия нужно выполнить прежде остальных: сначала находят значение выражения внутри скобок. Если скобок нет, сначала выполняют умножение и деление, а потом сложение и вычитание; действия одного уровня выполняют слева направо. Причина такого порядка — соглашение, которое делает запись однозначной: у одного выражения у всех вычисляющих должен получиться один результат. При необходимости скобки позволяют изменить обычный порядок.
Свойства сложения и умножения помогают сгруппировать числа так, чтобы считать было легче, не меняя результата. Например, 25 + 17 + 75 удобно вычислить как (25 + 75) + 17 = 117: слагаемые переставили и сгруппировали. Аналогично 4 · 19 · 25 можно посчитать как (4 · 25) · 19 = 1900. Перестановка и группировка допустимы для слагаемых или множителей, но не для компонентов вычитания и деления.
| Действие | Обозначение | Компоненты | Результат |
|---|---|---|---|
| Сложение | a + b | слагаемые a и b | сумма |
| Вычитание | a − b | уменьшаемое a, вычитаемое b | разность |
| Умножение | a · b или ab | множители a и b | произведение |
| Деление | a : b или a / b | делимое a, делитель b ≠ 0 | частное |
Сначала найдите знак действия в нужной записи, затем по строке таблицы определите названия его компонентов. Последний столбец подсказывает, как называется результат. Обозначение b ≠ 0 в строке деления означает, что делитель не равен нулю.
Складываем числа по разрядам, начиная с единиц. Если в разряде получается десять или больше, десяток переносим в следующий разряд. После сложения вычтем одно из слагаемых из полученной суммы: так проверим, осталось ли второе слагаемое.
Ответ: 605.
Вычитание означает, что из уменьшаемого x вычли 128 и получили 346. Чтобы восстановить уменьшаемое, нужно сложить разность и вычитаемое. Подставим найденное значение обратно в исходную запись и проверим результат.
Ответ: 474.
В выражении есть скобки, умножение, деление и сложение. Сначала найдём значения в скобках, затем выполним умножение и деление, а в конце сложим полученные результаты. Такой порядок нужен, чтобы соблюсти правила вычислений и получить однозначный ответ.
Ответ: 26.
При вычитании иногда меняют местами уменьшаемое и вычитаемое, считая порядок неважным. Так могут ошибиться, потому что при сложении слагаемые разрешается переставлять, но это правило не подходит к вычитанию: 9 − 4 не равно 4 − 9. Проверьте запись обратным действием: к разности прибавьте вычитаемое и сравните ответ с уменьшаемым.
Некоторые думают, что делить на ноль можно так же, как умножать на ноль. Ошибка возникает из-за сходства знаков, хотя деление ищет число, которое при умножении на делитель даст делимое. Проверьте деление умножением: при нулевом делителе невозможно получить ненулевое делимое, а для нулевого делимого ответ не единственный.
В выражении без скобок можно по привычке выполнить сложение раньше умножения. Например, в 2 + 3 · 4 сначала нужно умножить 3 на 4, а затем прибавить 2, иначе получится неверное значение. Проверьте себя: сначала отметьте все умножения и деления, выполните их, а потом переходите к сложению и вычитанию.
Ещё одна ошибка — выполнять действия внутри скобок после действий снаружи. Скобки специально выделяют часть выражения, значение которой нужно найти прежде остального. Чтобы не сбиться, сначала перепишите выражение, вычислив скобки, и только затем переходите к следующим действиям. Если скобки вложенные, начинают с самых внутренних.
Чтобы уверенно выполнять действия, нужно уметь читать и записывать числа, понимать их разрядный состав и сравнивать числа. Разряды помогают складывать и вычитать многозначные числа, а сравнение позволяет оценивать, правдоподобен ли ответ. Эти навыки особенно полезны при проверке вычислений и прикидке результата.
Арифметические действия нужны при вычислении значений выражений и решении уравнений: обратные действия помогают находить неизвестное число. В текстовых задачах сложение, вычитание, умножение и деление описывают реальные ситуации — объединение величин, изменение количества, повторение групп или распределение поровну. Умение выбрать действие связывает условие задачи с математической записью.
Как определить компоненты сложения и вычитания?
В записи a + b числа a и b — слагаемые, а результат — сумма. В записи a − b число a называется уменьшаемым, b — вычитаемым, а результат — разностью.
Какими действиями можно проверить сложение и умножение?
Сложение проверяют вычитанием: из суммы вычитают одно слагаемое и получают другое. Умножение проверяют делением: произведение делят на один из ненулевых множителей и получают второй.
Почему нельзя делить на ноль?
Деление ищет число, которое при умножении на делитель даст делимое. При делителе 0 такого числа для ненулевого делимого нет, а для нулевого подходит любое число, поэтому частное нельзя определить однозначно.
В каком порядке выполнять действия в выражении?
Сначала выполняют действия в скобках. Затем умножение и деление, а после них сложение и вычитание; действия одного уровня выполняют слева направо.
Можно ли менять местами числа при вычитании и делении?
Обычно нельзя: 9 − 4 = 5, а 4 − 9 = −5; 12 : 3 = 4, а 3 : 12 = ¼. При перестановке компонентов результат может измениться.
2.44. Арифметические действия над числами
