2.46. Арифметические действия над числами

Определения и обозначения

Арифметическое действие — операция над числами, результат которой также является числом. Основных действий четыре: сложение, вычитание, умножение и деление. Они нужны, чтобы объединять величины, находить их разницу, повторять сложение одинаковых чисел и распределять величину на равные части. Каждое действие имеет свои названия компонентов и правила.

Сумма — результат сложения, а числа, которые складывают, называются слагаемыми: a + b = c. Сложение обозначают знаком «+». Это действие помогает объединить две величины в одну, например посчитать общее количество предметов. Понимание названий компонентов облегчает чтение выражений и помогает находить неизвестное слагаемое.

Разность — результат вычитания; уменьшаемое − вычитаемое = разность. Вычитание обозначают знаком «−». Оно позволяет узнать, сколько осталось или на сколько одно число больше другого. Вычитание связано со сложением: если a + b = c, то c − b = a, поэтому сложением можно проверить найденную разность.

Произведение — результат умножения, а числа, которые перемножают, называются множителями. Частное — результат деления; делимое делят на делитель. Умножение обозначают точкой или знаком «·», деление — двоеточием или знаком «:». Эти действия помогают находить общий результат нескольких равных групп и делить величину на части, но деление на ноль не определено.

Как это устроено

Сложение объединяет числа в одно количество, а умножение сокращает запись сложения одинаковых слагаемых. Например, 4 + 4 + 4 можно записать как 3 · 4. Вычитание и деление помогают восстановить неизвестный компонент обратного действия: вычитанием находят неизвестное слагаемое, делением — неизвестный множитель. Поэтому обратные действия полезны и для вычислений, и для проверки ответа.

Переместительное свойство сложения означает, что a + b = b + a, а переместительное свойство умножения — что a · b = b · a. Сочетательное свойство позволяет менять группировку: (a + b) + c = a + (b + c), и так же для произведения. Эти свойства не меняют результат, потому что порядок объединения слагаемых или множителей не влияет на итог. Благодаря им можно переставить числа и сначала выполнить удобные действия.

Ноль и единица ведут себя по-разному в разных действиях. При сложении ноль ничего не прибавляет: a + 0 = a; при умножении на ноль любое число обращается в ноль: a · 0 = 0. Единица при умножении сохраняет число: a · 1 = a. Эти правила помогают быстро упрощать выражения и замечать неверные вычисления.

Распределительное свойство связывает умножение со сложением и вычитанием: a(b + c) = ab + ac и a(b − c) = ab − ac. Оно работает потому, что множитель относится к каждому слагаемому или вычитаемому внутри скобок. При раскрытии скобок внешний множитель умножают на каждый член, а при обратном преобразовании общий множитель выносят за скобки. Так выражение можно упростить или вычислить удобнее.

Порядок действий нужен, чтобы одно и то же выражение все читали одинаково. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, а после — сложение и вычитание. Если действия относятся к одной ступени, их выполняют слева направо. Например, умножение не ждёт сложения, стоящего перед ним: так исключается неоднозначность и результат вычисления не зависит от догадок.

Основные арифметические действия

В таблице можно быстро найти названия компонентов, результат действия и его обратную операцию. Используйте её, чтобы составить проверку: сложение проверяют вычитанием, а умножение — делением. Для деления всегда отдельно проверяйте, что делитель не равен нулю.

Разбор задач

Вычислите 248 + 137 − 85 и поясните связь сложения с вычитанием. В выражении нет скобок, а сложение и вычитание относятся к одной ступени. Поэтому выполняем их слева направо. Затем проверяем вычитание обратным действием — сложением.

1. Вычисляем первое действие: 248 + 137 = 385.
2. Вычитаем следующее число: 385 − 85 = 300.
3. Проверяем разность: 300 + 85 = 385, значит, вычитание выполнено верно.

Ответ: 300. Проверка показывает связь действий: к разности прибавили вычитаемое и получили уменьшаемое. Так можно проверить и другие примеры на вычитание.

Вычислите ¾ · (2 − ⅓) и проверьте результат. Скобки определяют первое действие, поэтому сначала найдём разность. Затем умножим её на дробь ¾. Для проверки используем обратное действие: частное разделим на один из множителей.

1. Приводим числа в скобках к общему знаменателю: 2 = 6/3, поэтому 2 − ⅓ = 5/3.
2. Умножаем дроби: ¾ · 5/3 = 15/12 = 5/4.
3. Проверяем: 5/4 : ¾ = 5/4 · 4/3 = 5/3, то есть получили значение скобок.

Ответ: 5/4, или 1¼. При проверке делили произведение на множитель ¾ и восстановили второй множитель. Это подтверждает результат умножения.

Вычислите удобным способом 25 · 48 + 25 · 52. Оба слагаемых содержат общий множитель 25, поэтому их не обязательно вычислять по отдельности. По распределительному свойству общий множитель можно вынести за скобки. В скобках останется сумма чисел 48 и 52, которую легко найти.

1. Выносим общий множитель: 25 · 48 + 25 · 52 = 25 · (48 + 52).
2. Складываем числа в скобках: 48 + 52 = 100.
3. Умножаем: 25 · 100 = 2500.

Ответ: 2500. Такой способ короче прямого вычисления двух произведений, потому что сначала объединяются слагаемые в скобках. Распределительное свойство позволяет преобразовать выражение, не меняя его значения.

Типичные ошибки

Ошибка: в выражении без скобок сначала выполнять сложение, а потом умножение. Так бывает, если читать запись только слева направо и не учитывать ступени действий. Проверяйте выражение перед вычислением: сначала выделите умножение и деление, затем сложение и вычитание. Например, в 2 + 3 · 4 сначала находят произведение, а не сумму.

Ошибка: действия одной ступени выполнять справа налево. Ученик может решить, что направление не имеет значения, однако вычитание и деление непереместительны. Для самопроверки расставьте действия по порядку слева направо: в 20 − 6 + 2 сначала считают 20 − 6. Если переставить шаги, получится другой ответ.

Ошибка: считать, что деление на ноль даёт ноль или какое-то обычное число. Путаница возникает из-за правила умножения на ноль, но обратное действие не работает так же: произведение любого числа на ноль равно нулю. Проверьте предполагаемый ответ умножением на делитель: никакое число, умноженное на ноль, не даст ненулевое делимое. Поэтому деление на ноль не определено.

Ошибка: раскрывая скобки, умножить внешний множитель только на первое слагаемое или произвольно переставить числа внутри произведения. Так происходит, когда забывают, что множитель относится к каждому члену в скобках. Запишите проверку по распределительному свойству: a(b + c) = ab + ac. Затем сравните, умножен ли внешний множитель и на b, и на c.

Связь с другими темами

Для работы с арифметическими действиями нужно знать, как выполнять их с натуральными числами, дробями и отрицательными числами. Правила порядка действий и смысл обратных операций сохраняются, хотя сами вычисления в разных множествах чисел могут отличаться. Если забыть, например, правила действий с дробями, правильный порядок операций не спасёт от ошибки в вычислении.

Свойства действий применяются при преобразовании выражений, решении уравнений и вычислении значений формул. Распределительное свойство помогает раскрывать скобки и выносить общий множитель, а обратные действия — находить неизвестные. Умение выполнять вычисления по порядку позволяет подставлять числа в формулы и получать верный результат.

Что запомнить

• Вычитание обратно сложению, а деление — умножению.
• Сложение и умножение обладают переместительным и сочетательным свойствами.
• При сложении ноль не меняет число; при умножении число на ноль равно нулю.
• При умножении единица не меняет число.
• Умножение распределяется относительно сложения и вычитания.
• На ноль делить нельзя.
• Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание.