2.47—2.48. Деление многозначных чисел на однозначные

Определения и обозначения

Деление многозначного числа на однозначное — это нахождение результата, когда делимое содержит несколько цифр, а делитель — одну. Делимое — число, которое делят, делитель — число, на которое делят, а частное показывает, сколько раз делитель содержится в делимом. Эти названия помогают понимать запись и порядок действий.

Письменное деление — это вычисление столбиком, при котором цифры частного находят по очереди. Делимое записывают слева, делитель — справа от специального знака, а действия выполняют по разрядам, начиная слева. Такая запись нужна, чтобы не потерять значение единиц, десятков, сотен и других разрядов.

Неполное делимое — часть делимого, которую рассматривают на очередном шаге. Сначала это одна или несколько первых цифр, а затем число, полученное из остатка и следующей цифры делимого. Понятие помогает видеть, с каким именно числом сейчас работают.

Остаток — часть неполного делимого, которая остаётся после вычитания найденного произведения. При делении без остатка он равен нулю, а при делении с остатком показывает, сколько единиц не удалось разделить поровну. Остаток всегда меньше делителя.

Как это устроено

Деление многозначного числа сводится к последовательному делению его разрядов слева направо. Сначала рассматривают первые цифры, затем после вычитания переходят к следующей цифре. Такой порядок сохраняет разрядный состав числа: сначала определяют цифру частного в старшем разряде, потом в следующем и так далее.

Первое неполное делимое выбирают из одной или нескольких первых цифр так, чтобы оно было не меньше делителя. Если взять число меньше делителя, целой цифры частного на этом шаге получить нельзя. Поэтому к первой цифре присоединяют следующую, пока не получится подходящее число.

Чтобы найти цифру частного, неполное делимое делят на делитель и берут целую часть результата. Полученную цифру записывают над тем разрядом делимого, который сейчас рассматривают. Затем её умножают на делитель: произведение не должно быть больше неполного делимого, иначе цифра частного выбрана слишком большой.

После вычитания произведения получают остаток текущего шага. К нему справа приписывают следующую цифру делимого — так образуется новое неполное делимое. Если оно меньше делителя, в соответствующем разряде частного обязательно записывают ноль, а затем сносят следующую цифру. В конце проверяют: при делении без остатка делитель умножают на частное, а при наличии остатка к произведению прибавляют остаток и убеждаются, что он меньше делителя.

Шаги письменного деления многозначного числа на однозначное

Таблица показывает порядок действий от выбора первой части делимого до проверки. Выполняйте шаги строго по очереди и не переходите дальше, пока не проверили вычитание. Отдельно следите за нулём в частном и за величиной остатка.

Разбор задач

1. Вычислите 864 : 3.

Первая цифра 8 не меньше 3, поэтому первое неполное делимое — 8. Деление можно продолжать по одной цифре, каждый раз используя полученный остаток. Нужно найти все цифры частного и проверить результат.

1. 8 : 3 = 2, остаток 2; первая цифра частного — 2.
2. К остатку 2 сносим 6 и получаем 26. 26 : 3 = 8, остаток 2; следующая цифра частного — 8.
3. К остатку 2 сносим 4 и получаем 24. 24 : 3 = 8, остаток 0.
4. Получаем частное 288. Проверка: 288 × 3 = 864.

Ответ: 288.

2. Вычислите 7425 : 5.

Первая цифра 7 подходит для начала, потому что она больше 5. После каждого вычитания следующая цифра присоединяется к остатку. Так постепенно находятся цифры частного в разрядах тысяч, сотен, десятков и единиц.

1. 7 : 5 = 1, остаток 2.
2. Сносим 4: получаем 24. 24 : 5 = 4, остаток 4.
3. Сносим 2: получаем 42. 42 : 5 = 8, остаток 2.
4. Сносим 5: получаем 25. 25 : 5 = 5, остаток 0.
5. Частное равно 1485. Проверка: 1485 × 5 = 7425.

Ответ: 1485.

3. Вычислите 8126 : 4 и выполните проверку.

Начинаем с 8, поэтому первая цифра частного равна 2. После вычитания остаётся 0, и при сносе цифры 1 получается число меньше делителя. На этом месте нужен ноль в частном, иначе разряды результата сдвинутся.

1. 8 : 4 = 2, остаток 0.
2. Сносим 1: получаем 1. Так как 1 < 4, записываем в частном 0.
3. Сносим 2: получаем 12. 12 : 4 = 3, остаток 0.
4. Сносим 6: 6 : 4 = 1, остаток 2.
5. Получаем 2031 и остаток 2. Проверка: 2031 × 4 + 2 = 8126, а 2 < 4.

Ответ: 2031, остаток 2.

Типичные ошибки

Начинают делить с первой цифры, даже если она меньше делителя. Тогда первое неполное делимое не позволяет найти цифру частного. Проверьте начало: оно должно быть не меньше делителя, поэтому иногда нужно взять две первые цифры.

Пропускают ноль в частном, когда очередное неполное делимое меньше делителя. Из-за этого все последующие цифры записываются не в свои разряды. Чтобы проверить себя, сравнивайте каждое новое неполное делимое с делителем.

Неверно сносят следующую цифру: иногда её прибавляют к остатку или приписывают не справа. В результате получается другое неполное делимое. После вычитания записывайте остаток, затем именно приписывайте к нему следующую цифру делимого.

Считают деление законченным сразу после получения частного с остатком. Такой результат может быть неверным, если остаток не проверен. Убедитесь, что делимое равно произведению делителя и частного плюс остаток, а сам остаток меньше делителя.

Связь с другими темами

Для письменного деления нужны таблица умножения и деления, понимание разрядного состава многозначных чисел и умение делить с остатком. Без этих знаний трудно подобрать цифру частного и выполнить вычитание.

Алгоритм используют при делении больших чисел, решении текстовых задач и выполнении письменных вычислений. Обратное умножение помогает быстро проверить результат, а работа с остатком встречается при распределении предметов по группам.

Что запомнить

• Деление столбиком выполняют слева направо.
• Первое неполное делимое должно быть не меньше делителя.
• Каждую найденную цифру частного записывают в разряд, которому она соответствует.
• После вычитания к остатку сносят следующую цифру делимого.
• Если очередное неполное делимое меньше делителя, в частном записывают ноль.
• При делении с остатком остаток всегда меньше делителя.
• Проверка деления с остатком: делитель умножить на частное и прибавить остаток.