"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Арифметические действия позволяют получать новые числа и описывать вычисления: складывать, вычитать, умножать и делить. У каждого действия есть свои названия компонентов и результата, а вычитание связано со сложением, деление — с умножением. Чтобы верно вычислять выражения, нужно учитывать скобки и порядок действий. Свойства сложения и умножения помогают удобнее группировать числа, но перестановка компонентов подходит не для каждого действия.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма — результат сложения чисел. В записи a + b = c числа a и b называют слагаемыми, а c — суммой. Это название помогает отличать сами числа от результата вычисления. Например, в записи 6 + 4 = 10 слагаемые — 6 и 4, сумма — 10.
Разность — результат вычитания. В записи a − b = c число a называют уменьшаемым, b — вычитаемым, а c — разностью. Такое обозначение показывает, какое число уменьшают и какое из него вычитают. Например, в 13 − 5 = 8 уменьшаемое равно 13, вычитаемое — 5, разность — 8.
Произведение — результат умножения чисел. Числа, которые перемножают, называют множителями: в записи a · b = c числа a и b — множители, а c — произведение. Термины помогают увидеть, из каких чисел получен ответ. Так, в 3 · 7 = 21 множители — 3 и 7, произведение — 21.
Частное — результат деления. В записи a : b = c число a — делимое, b — делитель, c — частное. Названия помогают не перепутать число, которое делят, с числом, на которое делят. Делить на ноль нельзя: для делителя 0 частное не определено.
Запись действия связывает исходные числа с результатом и сразу показывает роль каждого числа. Например, в равенстве a + b = c числа a и b — слагаемые, а c — сумма. Буквы могут обозначать любые числа, поэтому такая запись подходит не для одного примера, а для общего правила. Подставляя числа вместо букв, можно проверять, верно ли равенство.
Вычитание связано со сложением, потому что вычитание как бы отменяет прибавление. Найти разность a − b — значит подобрать такое число c, чтобы b + c получилось a. Поэтому неизвестное уменьшаемое можно найти сложением: если x − 19 = 34, то x = 34 + 19. Этой связью удобно пользоваться и для проверки вычитания: разность и вычитаемое должны в сумме дать уменьшаемое.
Деление связано с умножением по той же причине: оно обращает действие умножения. Чтобы найти частное a : b, нужно определить число c, для которого c · b = a. Например, если 24 разделить на 6, нужно найти число, которое при умножении на 6 даст 24. Получив частное, можно проверить его умножением на делитель; делитель при этом не может быть нулём.
Свойства сложения и умножения позволяют менять порядок и группировку чисел без изменения результата. Для сложения это означает, что a + b = b + a, а для умножения — a · b = b · a. Можно также по-разному расставить скобки: (a + b) + c = a + (b + c), и так же для произведения. Это полезно, когда после перестановки или группировки появляются удобные пары чисел, например круглые десятки.
Порядок действий нужен, чтобы одно и то же выражение все вычисляли одинаково. Сначала считают то, что заключено в скобки, затем выполняют умножение и деление, после них — сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняют слева направо: например, деление не имеет преимущества перед умножением. Скобки могут изменить обычный порядок, потому что указывают, какую часть выражения нужно вычислить первой.
| Действие | Запись | Названия компонентов | Результат | Ограничение |
|---|---|---|---|---|
| Сложение | a + b = c | a и b — слагаемые | c — сумма | Нет |
| Вычитание | a − b = c | a — уменьшаемое, b — вычитаемое | c — разность | В натуральных числах вычитаемое не больше уменьшаемого |
| Умножение | a · b = c | a и b — множители | c — произведение | Нет |
| Деление | a : b = c | a — делимое, b — делитель | c — частное | b ≠ 0 |
Сначала найдите в строке нужное действие, затем сопоставьте запись с названиями его компонентов. Колонка «Результат» показывает, как называется ответ, а последняя колонка напоминает об ограничениях. Для вычитания указано условие именно для натуральных чисел: в других множествах чисел правила могут быть шире.
Нужно сначала найти значение суммы, а затем правильно назвать оба числа и ответ. Удобно разложить 27 на 20 и 7: так сложение выполняется в два простых шага. После этого проверим, что сумма больше каждого слагаемого, как и ожидается при сложении положительных чисел.
Ответ: 65; слагаемые — 38 и 27, сумма — 65. Проверка обратным действием подтверждает вычисление: 65 − 27 = 38. Значит, найденное число действительно является результатом сложения данных слагаемых.
Здесь неизвестно уменьшаемое: из него вычли 19 и получили 34. Чтобы восстановить уменьшаемое, используем связь вычитания со сложением. К разности нужно прибавить вычитаемое, потому что именно такая сумма даёт исходное число.
Ответ: x = 53. Подстановка особенно полезна в уравнениях: она проверяет не только вычисление, но и то, подходит ли найденное число условию. Равенство после подстановки верно, значит решение найдено правильно.
В выражении есть скобки, деление, умножение и сложение. Поэтому нельзя начинать просто с самого левого действия: сначала нужно вычислить выражение в скобках, затем остальные умножение и деление. Сложение выполняется последним, когда значения обеих частей уже найдены.
Ответ: 90. Полезно сверить порядок действий: действие в скобках сделано первым, оба умножения и деление — раньше сложения. Если начать со сложения или делить на отдельный множитель из скобок, значение выражения изменится.
При вычитании иногда меняют местами уменьшаемое и вычитаемое, а при делении — делимое и делитель. Путаница возникает, когда запоминают только названия действий, но не следят за ролью чисел в записи. Перед вычислением прочитайте запись слева направо и укажите, какое число уменьшают или делят. Проверка обратным действием покажет ошибку: разность плюс вычитаемое должна дать уменьшаемое, а частное, умноженное на делитель, — делимое.
Деление на ноль может показаться обычным действием, если помнить лишь таблицу деления. Но не существует числа, которое при умножении на 0 даст ненулевое делимое; а если делимое тоже ноль, подходящих чисел бесконечно много. Поэтому частное с нулевым делителем не определено. Перед делением проверьте делитель: если он равен нулю, вычисление продолжать нельзя.
Некоторые считают выражение строго слева направо и выполняют сложение раньше умножения. Так происходит, если не учитывать, что у действий есть установленный порядок, а скобки задают отдельный приоритет. Сначала выделите скобки, затем отметьте умножение и деление, и только после них переходите к сложению и вычитанию. Проверить себя можно повторным просмотром выражения: ни одно действие более низкого приоритета не должно выполниться раньше более высокого.
Перестановка чисел сохраняет результат при сложении и умножении, но не при вычитании и делении. Ошибка возникает из-за переноса знакомых свойств сложения на все действия без проверки. Сравните записи a − b и b − a или a : b и b : a на простых числах: результаты обычно различаются. Чтобы не ошибиться, меняйте местами только слагаемые или множители, а в остальных действиях сохраняйте порядок компонентов.
Для работы с арифметическими действиями нужно понимать, что обозначают числа, и уметь читать выражения со скобками. Скобки показывают, какую часть вычисляют первой, поэтому важно видеть, к каким именно числам они относятся. Если смысл записи непонятен, даже правильно выполненные вычисления могут относиться не к тому выражению.
Тема опирается на таблицу умножения и навыки устных и письменных вычислений. Чем увереннее выполняются базовые действия, тем проще сосредоточиться на порядке вычислений и выборе удобного способа решения. Устные приёмы помогают замечать ошибки, а письменные вычисления полезны при работе с большими числами.
Арифметические действия понадобятся при вычислениях с дробями и отрицательными числами, а также при решении уравнений. Числовые выражения с несколькими действиями встречаются в задачах разных разделов математики. Понимание связи обратных действий помогает находить неизвестные и проверять ответы.
Как называются числа при сложении и вычитании?
При сложении числа называют слагаемыми, а результат — суммой. При вычитании первое число — уменьшаемое, второе — вычитаемое, результат — разность.
Почему на ноль делить нельзя?
Деление должно дать число, которое при умножении на делитель восстанавливает делимое. При делителе 0 произведение любого числа на него равно 0, поэтому ненулевое делимое получить нельзя, а для делимого 0 ответ не единственный.
Можно ли менять местами числа при вычитании?
Нет, обычно нельзя: при перестановке уменьшаемого и вычитаемого получается другой результат. Например, 9 − 4 = 5, а 4 − 9 = −5.
Как определить порядок действий в выражении?
Сначала выполняют действия в скобках. Затем умножение и деление, двигаясь слева направо, после них — сложение и вычитание, тоже слева направо.
Как проверить результат деления?
Умножьте частное на делитель: должно получиться делимое. Например, если 42 : 6 = 7, то проверка — 7 · 6 = 42.
2.49. Арифметические действия над числами
