"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Письменное деление помогает находить частное многозначного числа по разрядам, не пытаясь выполнить всё вычисление в уме. На каждом шаге выбирают часть делимого, подбирают цифру частного, умножают, вычитают и при необходимости сносят следующую цифру. Особенно важно верно определить первый разряд частного и не пропустить ноль. Если деление не нацело, остаток должен быть меньше делителя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Письменное деление — способ находить частное поразрядно, записывая вычисления столбиком. Вместо одного сложного действия выполняют несколько более простых: делят, умножают и вычитают. Такой способ удобен, потому что помогает не потерять разряды и подходит для больших чисел.
Неполное делимое — часть делимого, которую делят на делитель на очередном шаге. Сначала берут цифры слева направо, пока полученное число не станет не меньше делителя. После вычитания к остатку присоединяют следующую цифру делимого, поэтому неполное делимое постепенно меняется.
Неполное частное — цифра частного, найденная на одном шаге деления. Она показывает, сколько раз делитель помещается в текущем неполном делимом. Эту цифру записывают в соответствующий разряд итогового частного, поэтому важно сразу определить её место.
Остаток — число, которое остаётся после вычитания произведения делителя на найденную цифру частного. Он показывает часть неполного делимого, которую дальше разделить на целое число раз нельзя. Остаток должен быть меньше делителя: иначе делитель поместился бы ещё хотя бы один раз.
Сначала находят первое слева неполное делимое, которое не меньше делителя. Если первая цифра делимого меньше делителя, её недостаточно для первого шага, поэтому к ней присоединяют следующую цифру. Разряд последней цифры этого неполного делимого подсказывает, где записать первую цифру частного. Значит, по началу деления можно определить и старший разряд, и число разрядов частного.
Чтобы найти очередную цифру частного, подбирают наибольшую цифру от 1 до 9, произведение которой на делитель не превосходит неполное делимое. Подбор нужен потому, что цифра частного должна показывать, сколько целых раз делитель помещается в этой части делимого. Если произведение оказалось больше, выбранная цифра слишком велика и не может быть вычтена без отрицательного остатка. Удобно проверять соседние цифры умножением.
Найденную цифру умножают на делитель, а произведение вычитают из неполного делимого. Так узнают, сколько осталось после того, как из этой части выделили целое число групп, равных делителю. Затем к остатку сносят следующую цифру исходного делимого, получая новое неполное делимое. Снос цифры продолжает деление в следующем разряде, не меняя порядка цифр исходного числа.
Иногда очередное неполное делимое меньше делителя. Тогда в этом разряде частного не получается выделить ни одной группы, и записывают 0. Этот ноль — разрядный знак: если его пропустить, соседние цифры частного займут не свои места. Например, в частном 702 ноль показывает, что в десятках нет ни одной группы делителя.
Когда цифры делимого закончились, деление завершено: последняя найденная цифра записана в частное, а оставшееся число является остатком. Проверить вычисление можно так: частное умножить на делитель и прибавить остаток. Должно получиться исходное делимое. Если остатка нет, частное, умноженное на делитель, равно делимому; если он есть, он обязан быть меньше делителя.
| Этап | Что делаем | Что записываем | На что обратить внимание |
|---|---|---|---|
| Выбор первого неполного делимого | Берём цифры слева направо, пока число не станет не меньше делителя. | Первую цифру частного размещаем над разрядом последней взятой цифры. | Не начинаем с числа, меньшего делителя. |
| Нахождение цифры частного | Подбираем наибольшую цифру, произведение которой на делитель подходит. | Записываем цифру в частное. | Произведение не должно превышать неполное делимое. |
| Умножение и вычитание | Умножаем делитель на найденную цифру и вычитаем произведение. | Записываем произведение и остаток после вычитания. | Остаток должен быть меньше делителя. |
| Снос следующей цифры | Присоединяем к остатку следующую цифру делимого. | Получаем новое неполное делимое. | Не меняем порядок цифр. |
| Завершение деления и проверка | Обрабатываем все цифры делимого и проверяем вычисление. | Записываем частное и, если нужно, остаток. | Делитель × частное + остаток должно равняться делимому. |
Пользуйся таблицей как последовательным планом: переходи к следующему этапу только после проверки предыдущего. Особенно внимательно следи за разрядом цифры частного и величиной остатка. В конце обязательно выполни проверку умножением.
Вычислить 864 : 4 письменным способом. Начинаем с 8 сотен: число 8 не меньше 4, поэтому первая цифра частного будет в разряде сотен. Дальше на каждом шаге выбираем цифру частного, вычитаем соответствующее произведение и сносим следующую цифру. Проверка поможет убедиться, что ни один разряд не потерян.
Ответ: 864 : 4 = 216. В частном три цифры, потому что первое неполное делимое — 8 — относится к сотням. На следующих шагах получены десятки и единицы частного. Проверка совпала с делимым, значит, вычисление верно.
Вычислить 4212 : 6 письменным способом. Первая цифра 4 меньше 6, поэтому для первого неполного делимого берём 42. Первая цифра частного будет соответствовать сотням. После деления сотен нужно внимательно обработать разряд десятков: именно там возникает ноль.
Ответ: 4212 : 6 = 702. Ноль необходим, потому что после 7 сотен в частном нет десятков, но есть 2 единицы. Без нуля получилось бы 72, а это число другого разрядного значения и при умножении на 6 дало бы 432, а не 4212.
Вычислить 8437 : 7 и назвать остаток. Первой цифры 8 достаточно для деления, поэтому начинаем с разряда тысяч. После каждого вычитания сносим следующую цифру, пока не обработаем всё делимое. Если на последнем шаге остаётся число, которое меньше 7, это и будет остаток.
Ответ: 8437 : 7 = 1205, остаток 2. Ноль в частном сохраняет разряд десятков, где не удалось выделить ни одной группы по 7. Проверка учитывает остаток: произведение частного на делитель само по себе на 2 меньше делимого.
Если начать делить не с того разряда, можно неверно определить число цифр в частном. Часто это происходит, когда ученик сразу берёт первую цифру, не проверяя, достаточна ли она для деления. Сначала выбери первое слева неполное делимое, которое не меньше делителя. Затем сверь разряд первой цифры частного с разрядом последней цифры этого неполного делимого.
Иногда подбирают цифру частного, произведение которой больше неполного делимого. Так бывает, если ориентироваться только на приблизительную оценку и не проверить умножение. До вычитания обязательно умножь делитель на предполагаемую цифру. Если произведение превышает неполное делимое, уменьши цифру частного.
Пропущенный ноль в частном сдвигает остальные цифры и меняет значение всего числа. Ученик может решить, что ноль не нужен, потому что деление на очередном шаге не дало результата. Но разряд всё равно должен быть показан: если неполное делимое меньше делителя, запиши в соответствующем месте частного 0. Проверь число разрядов и умножь полученное частное на делитель.
Остаток, равный делителю или больший него, означает, что шаг выполнен неверно. Обычно это происходит из-за слишком маленькой цифры частного: в неполном делимом ещё помещается дополнительная группа делителя. Подбери цифру заново, увеличив её, и повтори умножение с вычитанием. После каждого шага проверяй неравенство: остаток меньше делителя.
Для письменного деления нужны навыки устного умножения и деления многозначных чисел на однозначное, вычитания и понимание разрядного состава числа. Эти умения помогают быстро подбирать цифру частного и правильно записывать результат. Разрядные знания особенно важны при выборе первого неполного делимого и записи нуля.
Письменное деление пригодится, когда нужно разделить большое число в задаче или выполнить вычисления, которые трудно сделать в уме. Оно также помогает понимать деление с остатком и проверять его результат. Для проверки используется равенство: делитель × частное + остаток = делимое.
С какого разряда начинать письменное деление?
Начинай с самой левой части делимого, которая не меньше делителя. Если одной первой цифры недостаточно, возьми две первые цифры, а если нужно — больше.
Как понять, сколько цифр будет в частном?
Первая цифра частного записывается над разрядом, соответствующим последней цифре первого неполного делимого. Затем каждому следующему разряду делимого соответствует очередная цифра частного, включая ноль, если он нужен.
Почему при делении иногда нужно записывать ноль в частном?
Ноль показывает, что в соответствующем разряде делителя не помещается ни одного раза. Если его пропустить, цифры частного сдвинутся и число получится другим.
Как проверить, правильно ли выполнено деление с остатком?
Умножь частное на делитель и прибавь остаток: должно получиться делимое. Также проверь, что остаток не меньше делителя.
Каким должен быть остаток при делении?
Остаток должен быть целым неотрицательным числом, меньшим делителя. Если он равен делителю или больше него, цифру частного на этом шаге выбрали неправильно.
2.50. Письменное деление многозначных чисел на однозначные
