"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Деление многозначного числа на однозначное помогает распределять предметы поровну, находить неизвестный множитель и выполнять вычисления с большими числами. Делить можно по разрядам: сначала выбирают часть делимого, которую можно разделить, затем находят цифру частного и переходят к следующему разряду. Остаток при этом переносят к очередной цифре. Главное — не пропускать разряды, правильно записывать цифры частного и проверять результат умножением.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деление — арифметическое действие, которое показывает, сколько раз одно число содержится в другом или на сколько равных частей можно разделить количество. В записи 936 : 3 = 312 число 936 называют делимым, 3 — делителем, а 312 — частным. Эти названия помогают понять, какую роль играет каждое число в вычислении.
Частное — результат деления. При делении многозначного числа на однозначное находят цифры частного по одной, начиная с разряда наибольшего порядка. Такой способ нужен, чтобы работать с большими числами последовательно, не пытаясь делить всё число сразу.
Остаток — часть делимого, которая остаётся, если разделить его нацело не удалось. Например, при делении 17 на 5 получаем 3 и остаток 2, потому что 5 × 3 + 2 = 17. Остаток всегда меньше делителя: если бы он был не меньше, можно было бы выделить ещё одну группу делителя.
Разряд — место цифры в записи числа, которое определяет её значение: единицы, десятки, сотни и далее. При письменном делении важно сохранять разрядный порядок, потому что каждая цифра частного относится к конкретному разряду результата. Это помогает не потерять нули и правильно оценить полученное число.
При делении столбиком начинают с цифр делимого слева, а не с единиц. Берут минимальную часть числа, которая не меньше делителя: иначе деление на этом шаге дало бы ноль целых раз. Например, если первая цифра меньше делителя, к ней присоединяют следующую цифру; тогда рассматривается уже число из двух цифр.
Затем определяют, сколько раз делитель помещается в выбранной части делимого. Эту цифру записывают в частное над последней цифрой использованной части. Она не может быть больше 9, потому что одна цифра частного обозначает число единиц своего разряда. Проверить подбор можно умножением: произведение делителя на выбранную цифру не должно превышать рассматриваемую часть.
После подбора цифры частного её умножают на делитель, а произведение вычитают из выбранной части делимого. Вычитание показывает, сколько ещё не распределено на этом шаге. Полученный остаток должен быть меньше делителя; если он не меньше, значит, цифра частного подобрана неверно и её нужно увеличить.
К остатку сносят следующую цифру делимого и получают новое число для деления. Снесённая цифра сохраняет своё место в исходном числе, поэтому её нельзя переставлять или терять. Повторяя подбор, умножение и вычитание, постепенно используют все цифры делимого.
Иногда полученный остаток меньше делителя даже после того, как к нему снесли очередную цифру. Тогда в соответствующем разряде частного записывают 0 и сносят следующую цифру. Ноль нельзя пропустить: без него цифры частного сдвинутся, и результат будет иметь неправильную разрядную запись.
Если после использования всех цифр остаток равен нулю, деление выполнено нацело. Если остаток остался, его записывают после частного и проверяют, что он меньше делителя. Такая запись сообщает не только целое число групп, но и количество единиц, которые в эти группы не вошли.
Деление проверяют обратным действием — умножением. При делении без остатка произведение делителя и частного должно равняться делимому; если остаток есть, его прибавляют к произведению. Эта проверка обнаруживает ошибки в вычислениях, но полезно также прикинуть размер частного: например, деление числа около 900 на 3 должно дать число около 300.
| Шаг | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| 1 | Выбрать начальную часть делимого | Она должна быть не меньше делителя |
| 2 | Подобрать цифру частного | Произведение на делитель не превышает выбранную часть |
| 3 | Умножить и вычесть | Остаток меньше делителя |
| 4 | Снести следующую цифру | Сохранять порядок цифр делимого |
| 5 | Продолжать до конца записи | Записать ноль в частном, если разряд пустой |
| 6 | Проверить результат | Делитель × частное + остаток = делимое |
Пользуйся таблицей как последовательностью действий: переходи к следующему шагу только после проверки текущего. Если после вычитания остаток оказался не меньше делителя, вернись к подбору цифры частного. В конце проверь и вычисление, и то, что остаток меньше делителя.
Задача. Разделим 1728 на 4. Нужно узнать, сколько получится при делении нацело, и проверить вычисление. Начинаем слева: первая цифра 1 меньше 4, поэтому берём первые две цифры — 17. Далее выполняем деление по разрядам, не забывая записывать ноль, если в каком-то разряде частного нет единиц.
Сравниваем 17 и 4: делитель помещается в 17 четыре раза, потому что 4 × 4 = 16, а 4 × 5 = 20, что уже больше 17. Записываем 4 в частное над цифрой 7, затем вычитаем 16 из 17. Остаток равен 1.
Сносим следующую цифру делимого — 2. Получаем 12, а 4 помещается в 12 ровно три раза. Записываем 3 в частное, вычитаем 12 и получаем остаток 0.
Сносим последнюю цифру — 8. Делим 8 на 4: получаем 2 без остатка. Записываем 2 в частное; все цифры делимого использованы, значит, частное равно 432.
Проверяем результат: 432 × 4 = 1728. Произведение совпало с делимым, следовательно, деление выполнено верно и остатка нет.
Ответ: 1728 : 4 = 432.
Задача с остатком. Разделим 175 на 4. Число 17 делится на 4 три раза: 4 × 3 = 12, остаток 5. Сносим 5 и получаем 55; в нём 4 помещается 13 раз, поскольку 4 × 13 = 52, и остаётся 3.
Итак, целая часть частного равна 43, остаток — 3. Проверка: 4 × 43 + 3 = 172 + 3 = 175, а остаток 3 меньше делителя 4. Значит, запись 175 : 4 = 43 (ост. 3) верна.
Начинают деление с неподходящей части. Если выбранное число меньше делителя, цифру частного невозможно определить как целое число раз. Так происходит, когда торопятся начать вычисление с первой цифры, не проверив её. Выбирай первую слева часть, которая не меньше делителя.
Неверно подбирают цифру частного. Иногда берут слишком большую цифру, и произведение делителя на неё превосходит текущую часть делимого. Это случается, если подобрать цифру без проверки умножением. Сверяй соседние варианты: произведение должно быть не больше текущего числа, а следующее произведение — уже больше него.
Пропускают ноль в частном. Если делитель не помещается в очередное число, ученик может сразу снести следующую цифру. Из-за этого частное теряет нужный разряд и становится неверным. Проверяй, что каждому шагу соответствует цифра частного, в том числе 0.
Неправильно сносят цифру или вычитают произведение. Перестановка цифр меняет делимое, а ошибка в вычитании нарушает дальнейшие шаги. Причина часто в неаккуратной записи столбиком. После вычитания пересчитай остаток и убедись, что он меньше делителя.
Забывают проверить остаток. В ответе может оказаться остаток, равный делителю или больший него, хотя тогда деление можно продолжить. Такая ошибка возникает, если проверяют только умножение. Используй обе проверки: делитель × частное + остаток должно дать делимое, а остаток должен быть меньше делителя.
Деление связано с умножением как обратным действием: проверка частного строится на умножении делителя на частное. Разрядный состав числа помогает выполнять письменное деление и правильно размещать цифры результата. Деление с остатком связано с делением нацело: остаток показывает, сколько единиц осталось после составления полных групп. Эти знания пригодятся при решении задач на равное распределение и при вычислениях с многозначными числами.
Дели число поразрядно, двигаясь слева направо.
Цифру частного проверяй умножением: произведение не должно превышать текущую часть делимого.
После каждого вычитания остаток должен быть меньше делителя.
Если в разряде частного нет единиц, обязательно запиши 0.
Проверка: делитель × частное + остаток = делимое.
Как понять, с какой цифры делимого начинать деление?
Слева выдели наименьшую часть делимого, которая не меньше делителя. Если первая цифра уже не меньше делителя, начинай с неё; если меньше — возьми первые две цифры.
Что делать, если делитель не помещается в текущем числе?
Запиши в частном 0 для соответствующего разряда и снеси следующую цифру делимого. Ноль показывает, что в этом разряде частного нет единиц.
Как проверить деление с остатком?
Умножь частное на делитель и прибавь остаток. Должно получиться делимое, а остаток должен быть меньше делителя.
2.51. Деление многозначных чисел на однозначные
