"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Арифметические действия над числами — это сложение, вычитание, умножение и деление. Они помогают объединять количества, находить разность, повторять одинаковые слагаемые и распределять предметы поровну. Для каждого действия существуют свои названия компонентов и результата, обратные действия и правила записи. Знание этих правил позволяет восстанавливать неизвестные числа, удобно вычислять значения выражений и избегать ошибок в порядке действий.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложение — действие, при котором к одному числу прибавляют другое. Результат называют суммой, а числа — слагаемыми: 7 + 5 = 12. Это обозначение помогает видеть, какие числа объединяют и что именно получилось.
Вычитание — действие, обратное сложению. Результат называют разностью, первое число — уменьшаемым, второе — вычитаемым: 12 − 5 = 7. Названия нужны, чтобы правильно находить неизвестный компонент и проверять вычисление.
Умножение заменяет сложение одинаковых слагаемых: 4 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12. Числа называют множителями, а результат — произведением. Такая запись удобна, когда одно и то же количество повторяется несколько раз.
Деление — действие, обратное умножению. Результат называют частным, число, которое делят, — делимым, а число, на которое делят, — делителем: 20 : 4 = 5. Делить на ноль нельзя, потому что частное при нулевом делителе не определено.
Сложение можно представить как объединение количеств: если было 3 предмета и добавили ещё 2, стало 5. Умножение описывает повторение одинаковых групп, поэтому 4 · 6 означает четыре группы по 6 и равно 6 + 6 + 6 + 6. Вычитание возвращает ситуацию назад, убирая часть объединённого количества, а деление распределяет общее количество по равным группам или выясняет, сколько таких групп получится.
Каждое действие связано с обратным, потому что обратное действие отменяет результат первого. Если 9 + 4 = 13, то 13 − 4 = 9; если 6 · 5 = 30, то 30 : 5 = 6. Поэтому неизвестное слагаемое находят вычитанием, неизвестный множитель — делением, неизвестное уменьшаемое — сложением, а неизвестное делимое — умножением.
При сложении слагаемые имеют одинаковую роль, поэтому их перестановка не меняет общий результат: 8 + 3 = 3 + 8. То же относится к множителям: 2 · 7 = 7 · 2, ведь число групп и число предметов в каждой группе можно рассматривать по-разному. У вычитания и деления роли компонентов различны: 10 − 4 не равно 4 − 10, а 12 : 3 не равно 3 : 12.
Свойства действий позволяют выбирать более удобный путь вычислений. Слагаемые можно группировать, множители — переставлять и объединять, а умножение можно распределять относительно сложения или вычитания: 6 · (10 + 2) = 6 · 10 + 6 · 2. Благодаря этому сложное выражение заменяют несколькими простыми, не изменяя его значения.
Порядок действий нужен, чтобы одно выражение имело однозначный результат. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, а после них сложение и вычитание. Действия одной ступени выполняют слева направо: например, 24 : 3 · 2 = 8 · 2 = 16.
| Действие | Запись | Как называют компоненты | Как называют результат | Обратное действие |
|---|---|---|---|---|
| Сложение | a + b = c | слагаемые | сумма | вычитание |
| Вычитание | a − b = c | уменьшаемое, вычитаемое | разность | сложение |
| Умножение | a · b = c | множители | произведение | деление |
| Деление | a : b = c | делимое, делитель | частное | умножение |
По таблице можно определить роль каждого числа в равенстве и подобрать обратное действие для проверки. Буквы обозначают произвольные числа, а для деления дополнительно требуется условие b ≠ 0.
Вычислите 38 + 27 и проверьте результат обратным действием.
Ответ: 38 + 27 = 65. Проверка верна, потому что после вычитания получили первое слагаемое.
Вычислите 6 · (14 − 9) + 18 : 3.
Ответ: 36. Если начать со сложения или пропустить скобки, получится другое выражение и неверный результат.
Найдите неизвестное число в равенстве 4 · (x − 3) = 28 и проверьте ответ подстановкой.
Ответ: x = 10. Подстановка совпала с исходным равенством, значит неизвестное найдено правильно.
Меняют местами уменьшаемое и вычитаемое или делимое и делитель. Так происходит, когда все действия ошибочно считают перестановочными; проверяйте роль каждого компонента и выполняйте обратное действие.
Складывают раньше, чем умножают, в выражении без скобок. Причина — чтение записи слева направо без учёта правил; сначала отметьте умножение и деление.
Действия одной ступени выполняют справа налево. Например, в 18 : 3 · 2 нельзя сначала умножать 3 на 2; двигайтесь слева направо и получите 12.
Считают, что деление на ноль даёт ноль. Проверка умножением показывает ошибку: никакое число, умноженное на 0, не даст ненулевое делимое, поэтому частное не существует.
Для этой темы нужно уметь читать числовые выражения, различать натуральные числа и ноль, а также понимать значения знаков арифметических действий. Эти знания понадобятся при вычислениях с дробями и десятичными числами, преобразовании выражений и решении уравнений. Правила порядка действий сохраняются и в более сложных записях.
Почему сложение и умножение можно выполнять в любом порядке, а вычитание и деление — нельзя?
Слагаемые и множители можно переставлять: от этого сумма и произведение не меняются. У вычитания и деления компоненты выполняют разные роли, поэтому их перестановка обычно даёт другой результат.
Как проверить результат вычитания?
К разности прибавляют вычитаемое. Если получилось уменьшаемое, вычитание выполнено верно.
Почему на ноль делить нельзя?
Деление означает поиск числа, которое при умножении на делитель даёт делимое. Не существует числа, произведение которого на ноль было бы ненулевым делимым, поэтому деление на ноль не определено.
Что выполнять первым, если в выражении есть и умножение, и сложение?
Сначала выполняют умножение, а затем сложение, если нет скобок. Например, в выражении 4 + 3 · 2 сначала находят 3 · 2.
Как найти неизвестный множитель или делимое?
Неизвестный множитель находят делением произведения на известный множитель. Неизвестное делимое находят умножением частного на делитель.
2.52. Арифметические действия над числами
