"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Многозначное число делят на однозначное поразрядно, двигаясь слева направо. На каждом шаге выбирают часть делимого, делят её на делитель, записывают цифру частного и находят остаток. Остаток соединяют со следующей цифрой делимого, чтобы продолжить вычисление. Такой способ помогает точно учитывать разряды и не пропускать нули в частном. Проверить деление можно умножением: делитель × частное плюс остаток должно дать делимое.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деление многозначного числа на однозначное — действие, при котором число из нескольких цифр делят на число от 1 до 9. Первое число называют делимым, число, на которое делят, — делителем, а результат — частным. Например, в записи 864 : 4 = 216 число 864 — делимое, 4 — делитель, 216 — частное. Эти названия помогают понимать, какую роль играет каждое число в вычислении.
Неполное делимое — число, которое делят на делитель на очередном шаге письменного вычисления. Сначала его составляют из минимального количества первых цифр делимого, достаточного для деления; потом к остатку приписывают очередную цифру исходного числа. Так вычисление постепенно охватывает все разряды делимого. Если не приписать следующую цифру, дальнейшие шаги будут выполнены не с тем числом.
Неполное частное — цифра частного, полученная при делении одного неполного делимого. Её записывают в ответ над той цифрой делимого, на которой выполняется шаг. Поэтому положение каждой цифры показывает её разряд: единицы, десятки, сотни и так далее. Это помогает правильно записать частное, даже если на каком-то шаге в нём должен появиться ноль.
Остаток при делении — число, которое остаётся после вычитания из неполного делимого произведения делителя на найденную цифру частного. Он показывает, сколько единиц ещё не удалось разделить на равные группы. Остаток обязательно меньше делителя: иначе можно было бы выделить ещё одну группу и увеличить цифру частного. Остаток может быть равен нулю, если деление на данном шаге прошло без остатка.
Многозначное число удобно делить слева направо, потому что его можно представить как сумму разрядных частей. Например, 864 состоит из 800, 60 и 4, и письменное деление последовательно учитывает сотни, десятки и единицы. Если начинать справа, найденные цифры частного было бы труднее сразу поставить в правильные разряды. Движение слева направо сохраняет порядок разрядов и позволяет использовать результат каждого шага для следующего.
Первое неполное делимое выбирают из начала записи делимого. Если первая цифра уже не меньше делителя, достаточно взять её; если меньше — берут первые две цифры, а при необходимости и больше. Нужно получить число, которое можно разделить хотя бы один раз. Тогда первая цифра частного сразу относится к нужному разряду, а не оказывается пропущенной.
Чтобы найти очередную цифру частного, делят неполное делимое на делитель и берут целую часть результата. Она показывает, сколько раз делитель помещается в неполном делимом. Затем найденную цифру умножают на делитель, а произведение вычитают из неполного делимого. Такое вычитание показывает, сколько единиц осталось перенести на следующий шаг.
Следующее неполное делимое образуют из остатка и очередной цифры исходного делимого: цифру приписывают справа к остатку. Например, из остатка 2 и следующей цифры 3 получается число 23. Затем снова находят цифру частного, умножают и вычитают. Эти действия повторяют, пока не будут использованы все цифры делимого.
Иногда новое неполное делимое меньше делителя и не делится на него ни одного раза. Тогда в соответствующем разряде частного обязательно записывают 0, а к остатку приписывают следующую цифру и продолжают вычисление. Без этого нуля последующие цифры сдвинулись бы влево и частное стало бы неверным. В конце умножьте частное на делитель и прибавьте остаток: результат должен совпасть с делимым, а сам остаток — быть меньше делителя.
| Шаг | Действие | Что записать или проверить |
|---|---|---|
| Выбор первого неполного делимого | Взять минимальное число начальных цифр, которое не меньше делителя. | Первое неполное делимое. |
| Нахождение цифры частного | Разделить неполное делимое на делитель. | Целую часть результата записать в частное. |
| Умножение и вычитание | Умножить найденную цифру на делитель и вычесть произведение. | Остаток, меньший делителя. |
| Составление следующего неполного делимого | Приписать к остатку следующую цифру делимого. | Новое неполное делимое; при необходимости ноль в частном. |
| Проверка частного и остатка | Умножить частное на делитель и прибавить остаток. | Сумма должна равняться делимому. |
Пользуйтесь строками таблицы по порядку: каждый шаг опирается на остаток предыдущего. Отдельно следите за разрядом цифры частного и за тем, чтобы остаток был меньше делителя. В конце выполните проверку по последней строке.
Начинаем с сотен: первая цифра 8 не меньше 4, значит, первое неполное делимое — 8. После каждого вычитания спускаемся к следующей цифре исходного числа. В этом примере остаток на каждом шаге равен нулю.
Ответ: 864 : 4 = 216. Проверка: 216 × 4 = 864. Значит, частное найдено верно.
Первая цифра 7 подходит для деления, поэтому начинаем с неё. После вычитания от неё останется остаток, который нужно соединить со следующей цифрой 3. Именно этот переход позволяет учесть всё число, а не делить его разряды независимо друг от друга.
Ответ: 735 : 5 = 147. Проверка: 147 × 5 = 735. Остаток не возник, потому что на последнем шаге число 35 разделилось на 5 без остатка.
Первая цифра 4 меньше делителя 6, поэтому первое неполное делимое составляют из двух цифр: 42. После деления сотни и десятки частного будут определены, но следующая часть может оказаться меньше делителя. В таком случае ноль в частном сохранит правильное положение последующей цифры.
Ответ: 4 218 : 6 = 703. Проверка: 703 × 6 = 4 218. Ноль в разряде десятков обязателен: без него получилось бы число с другими разрядами.
Если первая цифра делимого меньше делителя, нельзя считать её первым неполным делимым и сразу переходить к частному. Эту ошибку допускают, когда торопятся начать вычисление с первой цифры, не сравнив числа. В результате неверно выбирается разряд первой цифры частного. Проверьте, что первое неполное делимое не меньше делителя.
После вычитания иногда забывают приписать к остатку очередную цифру делимого. Тогда новое неполное делимое получается меньше или больше нужного, и дальнейшее вычисление сбивается. Ошибку помогает заметить проверка записи: использована ли на каждом шаге следующая цифра исходного числа. Сверяйте её порядок с записью делимого.
Если очередное неполное делимое меньше делителя, нельзя пропускать разряд в частном. Ноль часто забывают, потому что кажется, будто его можно не записывать. Но без него последующие цифры смещаются и меняют значение ответа. Проверьте, что каждая цифра частного стоит над соответствующим разрядом делимого.
Оставлять остаток, равный делителю или больший его, нельзя. Обычно так происходит, когда цифру частного выбрали слишком маленькой и вычли недостаточно. Умножьте записанную цифру на делитель и сравните произведение с неполным делимым; после вычитания остаток должен быть меньше делителя. Если это не так, пересчитайте шаг.
Для письменного деления нужны навыки деления с остатком однозначных чисел, умножения и вычитания. Также важно понимать разрядный состав числа: например, различать сотни, десятки и единицы. Эти знания помогают правильно выбирать цифры частного и выполнять каждый шаг алгоритма.
Деление на однозначное число встречается в текстовых задачах и при вычислении значений выражений. Тот же способ поразрядных вычислений подготавливает к письменному делению на многозначное число. Умение проверять частное умножением пригодится и в других вычислениях.
Почему нельзя начинать деление с первой цифры, если она меньше делителя?
Эта цифра не делится на делитель ни одного раза, поэтому она не может быть первым неполным делимым. Возьмите вместе с ней следующую цифру, чтобы получить число не меньше делителя.
Как определить, сколько цифр взять для первого неполного делимого?
Начните с первой цифры делимого и сравните её с делителем. Если она меньше делителя, возьмите первые две цифры; при необходимости продолжайте, пока не получится число не меньше делителя.
Когда в частном нужно записывать ноль?
Ноль записывают, если очередное неполное делимое меньше делителя и разделить его нацело нельзя. Он сохраняет место цифры частного, поэтому следующие цифры не сдвигаются.
Как понять, что деление выполнено с остатком правильно?
Умножьте делитель на частное и прибавьте остаток: должно получиться делимое. Также проверьте, что остаток меньше делителя.
Можно ли получить остаток, равный делителю?
Нет. Если остаток равен делителю или больше него, значит, на этом шаге можно было вычесть ещё одну группу, то есть цифра частного выбрана неверно.
2.53. Деление многозначных чисел на однозначные
