2.54. Письменное деление многозначных чисел на круглые

Определения и обозначения

Круглое число оканчивается одним или несколькими нулями: например, 10, 70, 300, 5000. Наличие нуля в записи не всегда делает число круглым: 103 не оканчивается нулём, поэтому это не круглое число. А число, которое делится на 10, как раз обязательно оканчивается нулём. Это различие помогает увидеть, можно ли упростить деление на 10.

Деление с остатком записывают так: делимое = делитель × неполное частное + остаток. Например, 17 = 5 × 3 + 2, а остаток 2 меньше делителя 5. Если остаток оказался равен делителю или больше него, деление выполнено не до конца. Эта запись позволяет проверить результат и понять, как распределились все единицы делимого.

Неполное частное — целая часть результата деления с остатком. В примере 17 : 5 неполное частное равно 3, а остаток — 2; в записи частного указывают именно 3. При делении без остатка остаток равен нулю, поэтому неполное частное совпадает с обычным частным. Термин нужен, чтобы различать целое число в ответе и оставшуюся часть.

Письменное деление — способ находить частное по разрядам, записывая вычисления столбиком. Для каждой очередной цифры частного проверяют умножением, сколько раз делитель помещается в текущем неполном делимом, затем вычитают найденное произведение. Остаток после вычитания должен быть меньше делителя. Такой порядок позволяет не потерять разряды и проверить каждый шаг.

Как это устроено

Если делимое и делитель оканчиваются нулями, иногда можно разделить оба числа на 10, 100 или другую степень 10. Например, в 8640 : 30 каждое число делится на 10, поэтому вместо исходного примера получаем 864 : 3. Чем меньше делитель, тем проще выполнить письменное деление. Сокращать разрешается только тогда, когда на выбранное число делятся оба участника деления без остатка.

Частное при таком сокращении не меняется, потому что делимое и делитель уменьшаются во столько же раз. Если разделить обе части отношения на одно и то же число, количество групп, которое показывает деление, останется прежним. Например, 8640 : 30 и 864 : 3 дают одинаковый ответ. Если уменьшить только делитель или только делимое, равенство уже не сохранится.

Когда нулей для сокращения недостаточно, делят столбиком без предварительного упрощения. Сначала выбирают слева такое начальное неполное делимое, которое не меньше делителя; затем подбирают цифру частного. Её проверяют умножением: произведение делителя на выбранную цифру не должно превосходить неполное делимое. Если произведение больше, цифру уменьшают, иначе после вычитания получилось бы отрицательное число.

После вычитания произведения к остатку сносят следующую цифру делимого справа. Так получается новое неполное делимое, по которому находят следующую цифру частного. Если оно меньше делителя, нельзя подобрать подходящую ненулевую цифру, поэтому в соответствующий разряд частного записывают 0 и сносят следующую цифру. Ноль удерживает место разряда, поэтому без него остальные цифры частного сместились бы.

Когда цифры делимого закончились, остаток — число, которое осталось после последнего вычитания. Он должен быть меньше делителя: иначе можно было бы вычесть делитель ещё раз и увеличить частное. Проверка объединяет оба результата: умножают делитель на частное и прибавляют остаток. Полученное число должно совпасть с делимым, а отдельное сравнение остатка с делителем подтверждает, что деление завершено.

Письменное деление на круглое число: ход решения и проверка

Используй таблицу как последовательность действий: переходи к следующему этапу, только проверив предыдущий. Если сокращение невозможно, начинай с выбора неполного делимого. В конце обязательно проверь и равенство, и размер остатка.

Разбор задач

Вычисли 8640 : 30.

Оба числа оканчиваются нулём, поэтому можно упростить пример, разделив делимое и делитель на 10. Получится 864 : 3; это не меняет частное, но делает письменные вычисления проще. Теперь делим по разрядам, проверяя подбор цифр умножением.

1. Сократим оба числа: 8640 : 30 = 864 : 3. Первое неполное делимое — 8 сотен; 3 помещается в 8 два раза. Записываем 2 и вычитаем 2 × 3 = 6, остаётся 2.

2. Сносим следующую цифру 6 и получаем 26. Делитель 3 помещается в 26 восемь раз: 8 × 3 = 24, а 9 × 3 уже больше 26. Записываем 8, вычитаем 24, остаётся 2.

3. Сносим 4, получаем 24. В нём 3 помещается 8 раз, потому что 8 × 3 = 24. Остаток равен 0, поэтому частное равно 288.

Ответ: 8640 : 30 = 288. Проверка: 30 × 288 = 8640. Значит, деление выполнено верно и остатка нет.

Вычисли 846 : 30 с остатком.

Сократить числа на 10 нельзя: 846 не оканчивается нулём. Поэтому выполняем деление письменно, не меняя исходные числа. Сначала берём 84, поскольку 8 меньше делителя 30, и находим подходящую цифру частного.

1. В 84 число 30 помещается 2 раза: 30 × 2 = 60, а 30 × 3 = 90 уже больше 84. Записываем 2 и вычитаем 60, получаем 24.

2. Сносим последнюю цифру 6 и получаем 246. Число 30 помещается в него 8 раз: 30 × 8 = 240, а 30 × 9 = 270 больше 246. Записываем 8 и после вычитания получаем остаток 6.

3. Проверяем: 30 × 28 + 6 = 840 + 6 = 846. Остаток 6 меньше делителя 30, значит, деление завершено.

Ответ: 846 : 30 = 28 (ост. 6). Равенство проверки восстановило делимое, а остаток оказался меньше делителя. Это подтверждает и частное, и остаток.

Вычисли 12 345 : 300 с остатком и проверь результат.

Сократить на 100 нельзя: делимое 12 345 на 100 без остатка не делится. Первые две цифры 12 меньше 300, как и 123, поэтому первое неполное делимое — 1234. После него нужно внимательно учитывать разряды: в числе 345 сотен нет, и это отразится нулём в частном.

1. В 1234 число 300 помещается 4 раза: 300 × 4 = 1200, а 300 × 5 = 1500 больше. Записываем 4, вычитаем 1200 и получаем 34.

2. Сносим последнюю цифру 5 и получаем 345. Здесь 300 помещается один раз; после вычитания 300 остаётся 45. Цифры делимого закончились, значит, это остаток.

3. Проверяем равенство: 300 × 41 + 45 = 12 300 + 45 = 12 345. Остаток 45 меньше 300, поэтому результат верен.

Ответ: 12 345 : 300 = 41 (ост. 45). Ноль в частном здесь не нужен: после первой цифры 4 сносим 5 и получаем 345, в котором уже помещается 300. Если бы очередное неполное делимое было меньше 300, ноль сохранял бы место соответствующего разряда.

Типичные ошибки

Сокращают только делитель, забывая разделить делимое на то же число. Так меняется отношение чисел и получается другое частное; например, нельзя заменить 8640 : 30 на 8640 : 3. Ошибку допускают, потому что смотрят лишь на нули делителя. Проверяй, что и делимое, и делитель разделены на одно и то же число без остатка.

При подборе цифры берут слишком большую: тогда произведение делителя на эту цифру превосходит неполное делимое. После вычитания возникает число меньше нуля, хотя при делении так быть не должно. Часто хочется сразу записать ближайшую цифру, не проверяя её умножением. Перед вычитанием сравни произведение с неполным делимым; если оно больше, уменьши цифру.

Пропускают ноль в частном, когда очередное неполное делимое меньше делителя. Из-за этого другие цифры занимают не свои разряды и ответ меняется. Такая ошибка возникает, если записывать только ненулевые цифры и не следить за их местами. Проверяй разряд за разрядом: если делитель не помещается, запиши 0, когда дальше продолжается деление.

Оставляют остаток, равный делителю или больший него, либо проверяют ответ только умножением. Остаток такого размера означает, что делитель можно вычесть ещё раз, а одно умножение не учитывает оставшуюся часть. Запиши равенство делимое = делитель × частное + остаток и отдельно сравни остаток с делителем. Остаток должен быть меньше делителя.

Связь с другими темами

Для деления на круглые числа нужны навыки умножения и деления многозначных чисел, деления с остатком и понимание разрядного состава числа. Если ты умеешь определять сотни, десятки и единицы, легче выбрать первое неполное делимое и правильно расположить цифры частного. Этот способ пригодится в задачах, где величины делят на десятки, сотни и тысячи. Те же приёмы помогают выполнять деление с остатком и проверять результат умножением.

Что запомнить

• Круглое число оканчивается одним или несколькими нулями.
• Делимое и делитель можно разделить на одно и то же число, если оба делятся на него без остатка: частное не изменится.
• При письменном делении цифры частного находят по разрядам.
• Каждую цифру частного проверяют умножением на делитель.
• Остаток всегда меньше делителя.
• Проверка деления с остатком: делимое = делитель × частное + остаток.