"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Арифметические действия позволяют объединять числа, находить разность, повторять сложение одинаковых слагаемых и делить одно число на другое. Сложение и вычитание, умножение и деление связаны как обратные действия: это помогает находить неизвестные компоненты и проверять вычисления. Чтобы правильно вычислять выражения, нужно знать свойства нуля и единицы, помнить, что на ноль делить нельзя, и соблюдать порядок действий: сначала скобки, затем умножение и деление, после — сложение и вычитание.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложение — действие, при котором два числа объединяют; эти числа называют слагаемыми, а результат — суммой. Например, в записи 8 + 3 = 11 числа 8 и 3 — слагаемые, а 11 — сумма. Сложение помогает узнать общее количество, когда известны части.
Вычитание — действие, обратное сложению: из уменьшаемого вычитают вычитаемое и получают разность. В записи 11 − 3 = 8 число 11 — уменьшаемое, 3 — вычитаемое, 8 — разность. Вычитание позволяет узнать, сколько осталось или на сколько одно число больше другого.
Умножение — действие, заменяющее сложение одинаковых слагаемых; числа называют множителями, а результат — произведением. Например, 4 · 3 = 12 означает, что число 3 взяли слагаемым четыре раза: 3 + 3 + 3 + 3. Такая запись короче и удобнее, когда группы одинаковы.
Деление — действие, обратное умножению: делимое делят на делитель и получают частное. В записи 12 : 3 = 4 число 12 — делимое, 3 — делитель, 4 — частное. Деление помогает разделить количество на равные части или узнать, сколько раз одно число содержится в другом; делить на ноль нельзя.
Сложение и вычитание связаны тем, что вычитание помогает найти неизвестное слагаемое. Если известно, что 7 + □ = 12, можно выполнить 12 − 7 и получить 5. Значит, неизвестное слагаемое равно 5. Той же связью проверяют сложение: из предполагаемой суммы вычитают одно слагаемое и смотрят, получилось ли другое.
Умножение удобно, когда одно и то же слагаемое повторяется много раз: вместо 5 + 5 + 5 + 5 записывают 4 · 5. Число 4 показывает, сколько раз взяли слагаемое 5. Множители можно менять местами, потому что четыре группы по пять предметов содержат столько же предметов, сколько пять групп по четыре. Поэтому 4 · 5 = 5 · 4, хотя при сложении слагаемых такое сокращение не требуется.
Деление связано с умножением через проверку результата. Частное — это такое число, которое при умножении на делитель даёт делимое: если 20 : 4 = 5, то 5 · 4 = 20. Если равенство при проверке не получается, значит, частное найдено неверно. Эту связь используют и для нахождения неизвестного множителя: например, из 4 · □ = 20 следует, что □ = 20 : 4.
Ноль и единица по-разному влияют на результат. Прибавление нуля не меняет число, потому что к нему не добавляют новых единиц: 9 + 0 = 9. Умножение на единицу сохраняет число, а умножение на ноль даёт ноль, ведь ноль одинаковых групп не содержит предметов. Ноль можно разделить на любое ненулевое число: 0 : 5 = 0, поскольку 0 · 5 = 0.
В выражениях действия выполняют не в произвольном порядке: иначе можно получить разные результаты. Сначала считают то, что заключено в скобки, затем выполняют умножение и деление, а уже после — сложение и вычитание. Например, в 2 + 3 · 4 сначала находят 3 · 4, потому что умножение относится к более высокой ступени, чем сложение. Если действия одной ступени стоят рядом, их выполняют слева направо: так, деление и умножение в выражении считают по порядку записи.
| Действие | Обозначение | Компоненты | Результат | Обратное действие |
|---|---|---|---|---|
| Сложение | + | слагаемые | сумма | вычитание |
| Вычитание | − | уменьшаемое, вычитаемое | разность | сложение |
| Умножение | · | множители | произведение | деление |
| Деление | : | делимое, делитель | частное | умножение |
По таблице можно вспомнить, как называется каждый компонент и каким действием проверяют результат. Например, произведение проверяют делением, а разность — сложением. Для деления помни ограничение: делитель не может быть равен нулю.
Задача 1. Вычислите 37 + 25 и проверьте результат обратным действием. Сначала складываем числа, а затем используем вычитание, чтобы убедиться, что из суммы восстановится одно из слагаемых. Для проверки достаточно вычесть из суммы число 25. Если получится 37, вычисление подтверждено.
Ответ: 62.
Задача 2. Вычислите 6 · 14 − 18 : 3. Здесь есть умножение, деление и вычитание. Если считать только слева направо, можно ошибочно начать с вычитания, поэтому сначала выполняем действия второй ступени. Умножение и деление стоят на одной ступени, но их порядок в этом выражении на вычисления не влияет: они находятся по разные стороны от вычитания.
Ответ: 78.
Задача 3. Найдите значение выражения (48 − 12) : 6 + 3 · 5. Скобки указывают, что разность нужно найти раньше остальных действий. Затем выполняем деление и умножение, которые имеют одинаковый приоритет, и только после этого складываем результаты. Такой порядок не позволяет случайно разделить или умножить уже полученную сумму.
Ответ: 21.
Считать всё только слева направо. Так можно сначала выполнить сложение или вычитание, хотя умножение и деление должны быть раньше. Ошибка возникает, если ученик не различает ступени действий. Перед вычислением отметь действия по порядку: скобки, умножение и деление, сложение и вычитание.
Начинать вычисления вне скобок. Скобки меняют обычный порядок: заключённое в них действие нужно выполнить первым. Иногда их пропускают, потому что сразу замечают умножение или деление снаружи. Проверь себя: сначала отдельно вычисли значение внутри каждой пары скобок.
Считать, что делить на ноль можно. При делении делимое должно равняться произведению частного и делителя. Если делитель равен нулю, произведение любого числа на него равно нулю, поэтому ненулевое делимое получить невозможно. Перед делением всегда проверь, что делитель не равен нулю.
Менять местами компоненты вычитания или деления. Например, 10 − 4 и 4 − 10 — не одно и то же, а 12 : 3 и 3 : 12 тоже дают разные результаты. Путаница возникает, когда компоненты принимают за равноправные слагаемые или множители. Чтобы проверить запись, назови компоненты и выполни обратное действие.
Для работы с арифметическими действиями нужны знания о натуральных числах, нуле, записи чисел и таблице умножения. Без них трудно правильно выполнять вычисления и понимать названия компонентов. Эти знания служат основой для следующих тем.
Действия применяют при вычислении значений числовых выражений и решении текстовых задач. В задаче нужно определить, какие величины известны и что требуется найти, а затем выбрать подходящее действие. Порядок вычислений помогает не перепутать шаги.
Обратные действия используют, чтобы находить неизвестные компоненты и проверять вычисления. Например, неизвестное слагаемое находят вычитанием, а неизвестный множитель — делением. Благодаря проверке можно обнаружить ошибку до того, как она повлияет на решение задачи.
Как проверить результат сложения?
Из полученной суммы вычти одно из слагаемых. Если разность равна другому слагаемому, сложение выполнено верно. Например, 37 + 25 = 62, а 62 − 25 = 37.
Почему вычитание нельзя переставлять так же, как слагаемые?
При перестановке уменьшаемого и вычитаемого обычно получается другое число: 9 − 4 = 5, а 4 − 9 в натуральных числах выполнить нельзя. В вычитании числа выполняют разные роли, поэтому менять их местами нельзя.
Что значит умножить число на ноль?
Это значит взять ноль одинаковых слагаемых, поэтому результат равен нулю. Например, 7 · 0 = 0.
Почему нельзя делить на ноль?
Частное при делении должно давать делимое, если умножить его на делитель. При делении на ноль произведение любого числа на ноль равно нулю, поэтому получить ненулевое делимое невозможно.
В каком порядке выполнять действия в выражении?
Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, после них — сложение и вычитание. Действия одной ступени выполняют слева направо.
2.55. Арифметические действия над числами
