"Математика", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Деление положительных десятичных дробей помогает находить, сколько раз одна величина содержится в другой, например сколько отрезков заданной длины получится из общей длины. Чтобы выполнить такое деление, превращают делитель в натуральное число: запятую в делимом и делителе переносят вправо на одинаковое число разрядов. Затем делят как обычно. Если цифр для вычислений не хватает, к делимому приписывают нули — его значение от этого не меняется.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Делимое — число, которое делят. В записи 12 : 3 = 4 делимое — 12: именно его нужно разделить на равные части или узнать, сколько раз в нём содержится другое число. Делимое записывают перед знаком деления. Без него нельзя определить, какое число распределяют.
Делитель — число, на которое делят. В записи 12 : 3 = 4 делитель — 3: он показывает, на сколько частей делят число или какого размера части ищут. Делитель обязательно должен отличаться от нуля, потому что деление на ноль не определено. Поэтому в примерах с делением сначала проверяют, что делитель не равен нулю.
Частное — результат деления. В равенстве 12 : 3 = 4 частное равно 4, потому что 12 разделили на 3. Делимое, делитель и частное связаны так: делимое : делитель = частное. Это помогает проверять вычисление: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое.
Деление положительных десятичных дробей — нахождение частного двух положительных чисел, записанных с запятой. Например, при вычислении 8,4 : 2,1 нужно узнать, сколько раз 2,1 содержится в 8,4. Чтобы не делить на дробное число напрямую, преобразуют запись к делению на натуральное число. При этом важно сохранить исходное частное.
Частное не меняется, если умножить делимое и делитель на одно и то же ненулевое число. Например, 8 : 2 = 4, и после умножения обоих чисел на 10 получаем 80 : 20 = 4. Доля каждого числа в другом не меняется: оба числа увеличились одинаково. Это свойство позволяет менять запись деления, не меняя ответ.
Чтобы делить на десятичную дробь, удобно превратить делитель в натуральное число. Для этого его запятую переносят вправо, то есть умножают делитель на 10, 100 или другую степень десяти. Но одного изменения делителя недостаточно: чтобы частное сохранилось, делимое нужно умножить на то же число. Поэтому его запятую также переносят вправо на столько же разрядов.
Количество разрядов выбирают по делителю, а не по делимому. Посчитай, сколько цифр стоит после запятой в делителе: если одна, перенеси запятую на один разряд; если две — на два. После такого переноса делитель станет натуральным числом. Например, в числе 0,13 две цифры после запятой, поэтому нужно умножить и делитель, и делимое на 100.
Когда делитель стал натуральным, выполняй деление по знакомому правилу для натуральных чисел. Если деление продолжается после запятой в делимом, в частном запятую ставят в тот момент, когда переходят к делению дробной части. Так разряды частного соответствуют разрядам делимого. Если деление закончилось без остатка, запятая в частном может не понадобиться.
Иногда после переноса запятой цифр делимого не хватает, чтобы разделить его без остатка или продолжить вычисление. Тогда справа к делимому приписывают нули и продолжают деление, при необходимости записывая цифры после запятой в частном. Например, 2,5 можно записать как 2,500, потому что нули в конце десятичной дроби не меняют её значения. Так получают нужные разряды, не изменяя исходное число.
| Шаг | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| 1 | Преобразовать делитель в натуральное число | Перенести его запятую вправо до целого числа. |
| 2 | На столько же разрядов перенести запятую в делимом | Частное сохранится, если оба числа умножены одинаково. |
| 3 | Разделить полученное число на натуральный делитель | Выполнить деление по правилам для натуральных чисел. |
| 4 | При необходимости дописать нули к делимому и продолжить деление | Нули справа после запятой не меняют значения делимого. |
Пользуйся шагами по порядку: сначала смотри на делитель и только потом меняй запись делимого. После преобразования проверь, что делитель действительно стал натуральным числом. Если деление не заканчивается, дописывай к делимому нули и продолжай вычисление.
Задача: вычислите 8,4 : 2,1. Делитель 2,1 содержит одну цифру после запятой, поэтому запятую в обоих числах нужно перенести на один разряд вправо. Так мы заменим деление на десятичную дробь делением на натуральное число, сохранив частное.
Ответ: 4.
Задача: вычислите 5,46 : 0,13. В делителе 0,13 две цифры после запятой, значит, обе запятые переносим на два разряда вправо. Делимое становится натуральным числом 546, а делитель — 13; исходное частное при этом сохраняется.
Ответ: 42.
Задача: вычислите 2,5 : 0,04. В делителе две цифры после запятой, поэтому переносим запятую на два разряда. В делимом цифр для такого переноса не хватает, поэтому дописываем ноль: 2,5 можно представить как 2,50, а после умножения на 100 получаем 250.
Ответ: 62,5.
Ошибка: переносят запятую только в делителе. Тогда делитель умножается на 10 или 100, а делимое остаётся прежним, поэтому частное меняется. Так поступают, когда забывают о свойстве деления. Проверь себя: число разрядов переноса в делимом и делителе должно совпадать.
Ошибка: в делимом и делителе переносят запятые на разное число разрядов. Это означает, что числа умножили на разные множители, и равносильность деления нарушилась. Часто разряды считают отдельно и теряют соответствие между числами. Перед делением сравни, на сколько знаков сдвинута каждая запятая.
Ошибка: ориентируются на количество цифр после запятой в делимом, а не в делителе. В результате делитель может остаться десятичной дробью, и перейти к делению на натуральное число не получится. Чтобы проверить преобразование, посмотри на делитель: после переноса его запятой он должен стать целым числом. Число разрядов определяет именно делитель.
Ошибка: забывают приписать нули, когда цифр для продолжения деления не хватает. Тогда вычисление останавливается с остатком или получается неверное частное. Так бывает, если считают, что запись делимого нельзя продолжать. Помни, что нули справа после запятой не меняют его значение, и проверяй ответ умножением на делитель.
Для этого способа нужно уметь делить натуральные числа и умножать или делить десятичную дробь на 10, 100 и другие степени десяти. Эти действия помогают перенести запятую и затем выполнить обычное деление. Если уверенно делить натуральные числа, останется внимательно выполнить преобразование и сохранить одинаковое число разрядов.
Деление десятичных дробей применяется в задачах о цене, массе, длине и других величинах. Например, делением можно узнать цену одной единицы товара по общей стоимости или определить количество отрезков заданной длины. Такой способ также служит основой для деления десятичной дроби на десятичную: сначала делитель превращают в натуральное число.
Почему при переносе запятой в делителе нужно переносить её и в делимом?
Перенос запятой вправо означает умножение числа на 10, 100 и так далее. Если умножить на одно и то же число и делимое, и делитель, частное останется прежним. Если изменить только делитель, результат деления изменится.
На сколько разрядов переносить запятую в обоих числах?
Посчитай знаки после запятой в делителе. Перенеси запятую вправо на столько разрядов, чтобы делитель стал натуральным числом, и на столько же разрядов — в делимом.
Что делать, если в делимом меньше знаков после запятой, чем в делителе?
Продолжай перенос запятой вправо, приписывая к делимому нули. Например, 2,5 можно записать как 2,500: значение числа не изменится, а нужные разряды появятся.
Можно ли приписывать нули к десятичной дроби?
Да, нули можно приписывать справа после последней цифры десятичной дроби: например, 2,5 = 2,50. Такие записи обозначают одно и то же число. Нули также помогают выполнить деление, если цифр не хватает.
Как проверить, правильно ли выполнено деление?
Умножь полученное частное на делитель. Если результат равен делимому, деление выполнено верно. Приблизительно проверить ответ можно и оценкой: например, понять, должен ли он быть больше или меньше единицы.
4.6. Деление положительных десятичных дробей
