4.7. Десятичные дроби и проценты

Определения и обозначения

Десятичная дробь — дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1000 и так далее; её записывают без знаменателя, отделяя запятой целую часть от дробной. Например, 7/10 записывается как 0,7. Такая запись удобна для вычислений и помогает сразу увидеть, какую часть целого описывает число.

Разряды десятичной дроби — позиции цифр после запятой: десятые, сотые, тысячные и далее; каждая следующая позиция обозначает в 10 раз меньшую долю. В числе 0,36 цифра 3 означает три десятых, а 6 — шесть сотых. Знание разрядов помогает правильно читать дробь и не путать, например, 0,4 с 0,04.

Процент — одна сотая часть целого; 1% = 1/100 = 0,01. Слово «процент» означает «сотая доля», поэтому 25% — это 25 сотых, или 25/100. Проценты позволяют описывать части целого в удобном виде, например долю учеников или размер скидки.

Процентное отношение — способ выразить отношение двух величин в процентах: отношение умножают на 100%. Например, если из 20 заданий выполнено 15, то отношение выполненных заданий ко всем равно 15/20, или 75%. Этот способ нужен, чтобы сравнивать часть с целым и выражать результат в процентах.

Как это устроено

Знаменатель обыкновенной дроби показывает, на сколько равных долей разделено целое. Если знаменатель равен 10, 100 или 1000, такую дробь можно записать десятичной: вместо знаменателя запятая отделяет целую часть, а числитель занимает нужные разряды. Поэтому 7/10 = 0,7: после запятой одна цифра, потому что в знаменателе один ноль. А 23/100 = 0,23: две цифры после запятой соответствуют двум нулям в знаменателе.

Ноль в конце десятичной записи обозначает, что в следующем разряде нет дополнительных долей. Например, 0,5 — это 5/10, а 0,50 — это 50/100; эти дроби равны, потому что 5/10 можно умножить на 10 в числителе и знаменателе. Значит, 0,5 = 0,50, и нули в конце можно как приписывать, так и отбрасывать. Но ноль внутри записи убирать нельзя: в 0,05 он показывает отсутствие десятых, а цифра 5 обозначает сотые.

Процент связан с десятичной дробью через сотые доли: знак % означает деление на 100. Поэтому, чтобы перевести проценты в десятичную дробь, число процентов делят на 100: 8% = 8 : 100 = 0,08. Обратное действие — умножение на 100: 0,08 × 100 = 8, значит, 0,08 = 8%. В обыкновенной дроби проценты тоже записываются как сотые: например, 25% = 25/100 = 1/4.

Чтобы найти процент от числа, сначала представляют процент десятичной дробью, а затем умножают на данное число. Это работает потому, что процент — часть целого: например, 15% от 240 означает 0,15 от 240, то есть 240 × 0,15. Полученное значение должно быть меньше исходного числа, если процент меньше 100%. Такой результат помогает проверить, не перепутано ли действие.

Иногда известна процентная часть, а требуется найти всё число. Тогда известное значение соответствует некоторой доле целого, поэтому его делят на десятичную дробь, обозначающую эту долю. Например, если 12% числа равны 36, то 36 — это 0,12 от целого, и целое равно 36 : 0,12. Проверка обратным действием: 12% от найденного числа должны дать 36.

Связь процентов, десятичных и обыкновенных дробей

Чтобы пользоваться таблицей, найди известную запись и прочитай соответствующие ей дроби в соседних столбцах. Для перевода любого процента в десятичную дробь раздели его число на 100, а для обратного перевода умножь на 100. В последней строке p обозначает число процентов, а a — данное число.

Разбор задач

Задача 1. Запишите 7/10 и 23/100 в виде десятичных дробей. Сначала смотрим на знаменатель: число нулей в нём подсказывает, сколько цифр должно быть после запятой. Если числитель короче, чем нужно, перед ним ставят ноль в подходящем разряде. Так сохраняется значение дроби, а запись становится десятичной.

1. В дроби 7/10 знаменатель содержит один ноль, значит, после запятой будет одна цифра: 7/10 = 0,7.
2. В дроби 23/100 знаменатель содержит два нуля, значит, после запятой нужны две цифры: 23/100 = 0,23.

Ответ: 0,7 и 0,23. Проверь разряды: 0,7 — семь десятых, а 0,23 — двадцать три сотых. Число цифр после запятой совпало с числом нулей в знаменателях.

Задача 2. Найдите 15% от 240. Здесь известно целое число и нужно узнать его часть, поэтому сначала представим процент десятичной дробью. Так как процент означает сотую долю, 15% = 15/100 = 0,15. Теперь найдём пятнадцать сотых от 240 умножением.

1. Переведём процент в десятичную дробь: 15 : 100 = 0,15.
2. Умножим целое на эту дробь: 240 × 0,15 = 36.
3. Проверим смысл: 36 меньше 240, как и должно быть для части, составляющей меньше 100%.

Ответ: 36. Умножение подходит, потому что мы искали часть от известного целого. Если бы мы разделили 240 на 0,15, получилось бы число больше исходного, то есть ответ не соответствовал бы вопросу.

Задача 3. 12% числа равны 36. Найдите это число. Неизвестным является целое, а 36 — только его часть. Переведём 12% в десятичную дробь и разделим известную часть на соответствующую долю целого.

1. Запишем 12% десятичной дробью: 12 : 100 = 0,12.
2. Обозначим искомое число через x. Тогда 0,12x = 36, поэтому x = 36 : 0,12 = 300.
3. Проверим: 300 × 0,12 = 36, значит, найденное число подходит.

Ответ: 300. Деление восстановило целое из известной процентной части. Проверка обратным действием подтвердила, что 12% от 300 действительно равны 36.

Типичные ошибки

При переводе процентов в десятичную дробь иногда передвигают запятую на один знак или вовсе оставляют число без изменений. Так происходит, если забыть, что процент — это сотая доля, а значит, число нужно разделить на 100. Проверь себя умножением: полученную десятичную дробь, умноженную на 100, должно быть возможно вернуть к исходному числу процентов.

Дроби 0,4 и 0,04 могут показаться одинаковыми из-за одной и той же цифры 4. Но в первом числе это четыре десятых, а во втором — четыре сотых, то есть 0,04 в десять раз меньше. Ошибка появляется, когда не учитывают позицию цифры. Для проверки прочитай дроби вслух и назови разряд каждой цифры после запятой.

При нахождении процента от числа иногда делят число на десятичную запись процента вместо умножения. Обычно так смешивают две разные задачи: деление нужно, когда восстанавливают целое по известной части, а при поиске части умножают. Спроси себя, что известно: целое или процентная часть. Если целое дано и надо найти его долю, умножение — подходящее действие.

Некоторые считают, что приписанный к дробной части ноль обязательно меняет значение числа. На самом деле 0,5 и 0,50 равны: ноль в конце показывает, что в разряде сотых нет дополнительных долей. Ошибку допускают, если воспринимают запись как обычное целое число, не учитывая разряды. Проверить равенство можно, записав дроби со знаменателями: 5/10 = 50/100.

Связь с другими темами

Для работы с десятичными дробями пригодятся знания об обыкновенных дробях: числитель показывает число взятых долей, а знаменатель — размер этих долей. Также нужно уверенно делить на 10, 100 и 1000, чтобы переводить проценты и записывать дроби десятичным способом. Разрядный состав натуральных чисел помогает следить за местом каждой цифры и верно понимать значение числа.

Проценты встречаются в задачах о скидках, налогах и долях величины: например, можно вычислить, сколько денег сэкономили при покупке. Десятичные дроби и проценты также помогают сравнивать части разных величин. В задачах на пропорции они связывают известную часть с целым и позволяют находить неизвестное значение.

Что запомнить

• 1% = 1/100 = 0,01.
• Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, раздели число процентов на 100.
• Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, умножь её на 100.
• Процент от числа находят умножением числа на десятичную запись процента.
• Чтобы найти целое по его процентной части, эту часть делят на десятичную запись процента.
• Нули в конце десятичной дроби можно отбросить без изменения её значения.