4.9. Десятичные дроби произвольного знака

Определения и обозначения

Десятичная дробь произвольного знака — это десятичная дробь, перед которой может стоять знак «+» или «−». Знак относится ко всему числу, а не только к цифре перед запятой: запись −3,25 означает число, противоположное 3,25. Такие числа позволяют обозначать величины по разные стороны от нуля. Например, температура −3,25 °C находится ниже нуля.

Положительная десятичная дробь — десятичная дробь со знаком «+». Этот знак обычно не пишут, поэтому 4,7 и +4,7 обозначают одно число. Положительные дроби удобно представлять справа от нуля на координатной прямой. Отсутствие знака перед дробью означает, что она положительная.

Отрицательная десятичная дробь — десятичная дробь со знаком «−», который ставят перед числом целиком. Например, −0,8 читают «минус ноль целых восемь десятых», а −12,35 — «минус двенадцать целых тридцать пять сотых». Знак показывает, что число находится левее нуля. Поэтому его нельзя переносить только к одной части записи или пропускать при вычислениях.

Противоположные десятичные дроби имеют одинаковую запись без знака, но разные знаки: например, 2,4 и −2,4. Они находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него. При сложении одно число компенсирует другое, поэтому сумма противоположных чисел равна нулю. Это свойство помогает проверять вычисления и упрощать выражения.

Как это устроено

На координатной прямой положительные десятичные дроби расположены справа от нуля, а отрицательные — слева. Чем дальше точка находится вправо, тем больше соответствующее число, потому что при движении вправо числа возрастают. Поэтому любое положительное число больше любого отрицательного. Например, −2,7 меньше 1,35: первое число слева от нуля, второе — справа.

Сравнивать дроби одного знака помогают правила сравнения положительных дробей и расположение чисел на прямой. Для двух положительных чисел можно сравнить целые части, а затем десятичные разряды; при необходимости к записи дописывают нули: 2,50 = 2,5. Для двух отрицательных дробей порядок меняется на противоположный: число с большим модулем расположено дальше влево, значит, оно меньше. Например, −4,2 < −1,8, хотя 4,2 > 1,8.

Если складывают числа с одинаковыми знаками, их модули складывают, а общий знак сохраняют. Причина в том, что оба числа направлены от нуля в одну сторону: их расстояния складываются. Например, две отрицательные величины вместе дают отрицательный результат, а две положительные — положительный. Так, (−1,2) + (−0,5) = −1,7.

При сложении чисел разных знаков одно число направлено вправо, другое — влево, поэтому часть их расстояний взаимно сокращается. Для результата вычитают меньший модуль из большего и ставят знак числа с большим модулем. Например, в сумме 5,6 + (−2,1) положительное слагаемое имеет больший модуль, поэтому ответ положительный: 3,5. Если модули равны, слагаемые противоположны и сумма равна нулю.

Вычитание заменяют сложением числа, противоположного вычитаемому: a − b = a + (−b). Это правило позволяет обойтись уже известными способами сложения. Если вычитают отрицательное число, противоположным ему будет положительное: например, 3,4 − (−1,2) = 3,4 + 1,2. После замены определяют знаки слагаемых и выполняют сложение по соответствующему правилу.

Сравнение и сложение десятичных дробей произвольного знака

В таблице собраны действия для разных случаев. В строках о сравнении нужно определить, какие числа больше, а в строках о действиях — как получить сумму или разность. При сложении разных знаков сравнивай именно модули, а не сами отрицательные числа.

Разбор задач

Сравните −2,7 и 1,35.

Сначала выясним, по какую сторону от нуля находится каждое число. Это позволит сравнить их, не сопоставляя десятичные разряды: числа разных знаков расположены в разных частях координатной прямой. Отрицательное число будет левее положительного.

1. Число −2,7 отрицательное, а 1,35 положительное.
2. На координатной прямой −2,7 расположено слева от нуля, а 1,35 — справа.
3. Любое число слева от положительного числа меньше него, поэтому −2,7 < 1,35.

Ответ: −2,7 < 1,35.

Вычислите −3,48 + (−1,6).

Оба слагаемых отрицательные, значит, при сложении их расстояния от нуля складываются, а знак результата остаётся отрицательным. Перед сложением удобно выровнять десятичные разряды, дописав к числу −1,6 ноль. Так легче сложить сотые с сотыми и десятые с десятыми.

1. Записываем второе слагаемое как −1,60.
2. Складываем модули: 3,48 + 1,60 = 5,08.
3. Сохраняем общий знак слагаемых: получаем −5,08.

Ответ: −5,08.

Вычислите −5,2 − (−3,75) + 1,08.

В выражении есть вычитание отрицательного числа. Прежде чем считать, заменим его сложением противоположного числа; затем последовательно сложим дроби. При каждом сложении разных знаков будем сравнивать модули, чтобы выбрать и величину, и знак результата.

1. Заменяем вычитание сложением: −5,2 − (−3,75) + 1,08 = −5,2 + 3,75 + 1,08.
2. Складываем первые два числа: модули отличаются на 5,20 − 3,75 = 1,45. Больший модуль у числа −5,2, поэтому −5,2 + 3,75 = −1,45.
3. Складываем −1,45 и 1,08. Модуль отрицательного числа больше, поэтому результат отрицательный, а его модуль равен 1,45 − 1,08 = 0,37.
4. Получаем −0,37.

Ответ: −0,37.

Типичные ошибки

При сравнении отрицательных дробей иногда считают большей ту, у которой модуль больше. Так происходит, если забыть, что отрицательные числа расположены слева от нуля: чем дальше точка влево, тем число меньше. Например, −6,1 < −2,4, а не наоборот. Проверь себя, сравнив точки на координатной прямой или представив, какое число ближе к нулю.

При сложении чисел разных знаков можно ошибочно сложить их модули. Такой способ верен только для одинаковых знаков, потому что при разных направлениях часть расстояний сокращается. Например, 4 + (−3) = 1, а не 7. Для проверки сначала выясни, одинаковы ли знаки, и только потом выбирай действие с модулями.

Ещё одна ошибка — поставить в сумме разных знаков знак первого слагаемого. Но первое число не обязательно имеет больший модуль, поэтому его знак не всегда определяет результат. Например, −2 + 5 = 3: знак положительный, потому что модуль 5 больше. Перед вычислением сравни модули и поставь знак числа с большим модулем.

В выражении a − b иногда оставляют знак вычитаемого без изменения и сразу складывают числа. Это неверно: вычитание нужно заменить сложением числа, противоположного b. Например, 2 − (−0,5) превращается в 2 + 0,5, а не в 2 + (−0,5). Проверь преобразование: перед новым слагаемым должен стоять знак, противоположный знаку вычитаемого.

Связь с другими темами

Для работы с дробями произвольного знака нужны навыки сравнения и сложения положительных десятичных дробей. Также нужно понимать, что такое модуль и противоположные числа: модуль показывает расстояние до нуля, а противоположные числа находятся по разные стороны от него на одинаковом расстоянии. Эти понятия помогают объяснить правила вычислений, а не только запомнить их.

Правила пригодятся при дальнейшем изучении рациональных чисел, то есть чисел, которые можно записать в виде дроби. С их помощью решают уравнения и задачи, где величина может увеличиваться или уменьшаться: например, меняется температура, уровень воды или счёт в игре. Умение аккуратно работать со знаками помогает не перепутать направление изменения.

Что запомнить

• Положительное число больше любого отрицательного.
• Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.
• При сложении чисел с одинаковыми знаками складывают модули и сохраняют знак.
• При сложении чисел с разными знаками вычитают меньший модуль из большего.
• Знак суммы чисел с разными знаками совпадает со знаком слагаемого с большим модулем.
• Вычитание заменяется сложением с противоположным числом.
• Сумма противоположных чисел равна нулю.