5.8. Координатная ось

Определения и обозначения

Координатная ось — это прямая, на которой выбраны начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление. Эти три элемента превращают обычную прямую в шкалу для чисел. По ней можно отмечать числа и сравнивать их расположение.

Начало отсчёта — точка, которой соответствует число 0. Её часто обозначают буквой O. От этой точки считают расстояние до остальных точек, поэтому без начала отсчёта нельзя определить их координаты.

Единичный отрезок — выбранный отрезок, длина которого считается равной одной единице. Он задаёт масштаб оси: если изменить его длину, точки на рисунке раздвинутся или сблизятся, хотя их координаты останутся прежними. По нему определяют, какое расстояние нужно отложить для заданного числа.

Координата точки — число, которому соответствует положение этой точки на координатной оси. Запись A(3) означает, что координата точки A равна 3. Координата нужна, чтобы точно назвать положение точки, не описывая его только словами.

Как это устроено

Чтобы получить координатную ось, сначала проводят прямую и отмечают на ней точку, которой назначают число 0. Затем выбирают положительное направление, например вправо, и единичный отрезок. Начало нужно для отсчёта, направление — для различения знаков, а единичный отрезок — для измерения расстояний. Если пропустить хотя бы один выбор, положение чисел будет определено не полностью.

При обычной записи оси положительное направление показывают стрелкой вправо. Поэтому движение от нуля по стрелке даёт положительные координаты, а движение в обратную сторону — отрицательные. Знак зависит от выбранного направления, а не от того, где на листе находится точка. Если стрелку направить влево, положительные точки окажутся слева от нуля.

Чтобы найти точку по координате, нужно от начала отсчёта отложить расстояние, равное числу единичных отрезков, и двигаться в нужную сторону. Для положительного числа идут по положительному направлению, для отрицательного — против него. Например, координата 3 означает три единичных отрезка от нуля. Координата −3 означает такое же расстояние, но в противоположную сторону.

Чтобы определить координату по положению точки, сначала выясняют, по какую сторону от нуля она находится. Затем считают расстояние в единичных отрезках и ставят нужный знак: плюс по положительному направлению, минус против него. Так, точка на четыре единицы левее нуля при направлении вправо имеет координату −4. Одного расстояния недостаточно: сторона тоже влияет на ответ.

Числа сравнивают по расположению их точек: больше координата у той точки, которая находится правее. Это связано с тем, что при движении по оси в положительном направлении значения чисел увеличиваются. Поэтому 2 больше −1, хотя число −1 может находиться ближе к нулю. Такой способ сравнения подходит и для дробных координат.

Элементы координатной оси и их роль

Сначала проверьте, где на оси ноль и куда направлена стрелка: это поможет не перепутать знак. Затем посмотрите на единичный отрезок, чтобы правильно оценить расстояние. Координату используйте как краткую запись положения точки.

Разбор задач

Задача. На координатной оси отметьте точку A(3).
Решение:

1. Найдём начало отсчёта — точку с координатой 0. Проверим, в какую сторону направлено положительное направление оси.
2. Координата 3 положительная, поэтому от нуля двигаемся по стрелке. Откладываем три единичных отрезка, считая каждый отрезок за одну единицу.
3. В конце третьего отрезка ставим точку и подписываем её A. Проверяем, что она находится на положительной стороне и удалена от нуля на три единицы.

Ответ: точка A расположена на три единичных отрезка от начала отсчёта в положительном направлении.

Задача. Определите координату точки B, если она расположена на четыре единичных отрезка левее начала отсчёта.
Решение:

1. Сначала определим сторону: точка B лежит слева от нуля. При обычном направлении оси положительное направление идёт вправо, значит, слева расположены отрицательные координаты.
2. Теперь измерим расстояние: от начала отсчёта до B укладываются четыре единичных отрезка. Расстояние показывает число 4, а сторона определяет знак минус.
3. Запишем число со знаком и обозначим координату точки. Если бы положительное направление было задано влево, знак пришлось бы определять по стрелке, а не по расположению на листе.

Ответ: B(−4).

Задача. Отметьте точки C(−2,5) и D(1,5), а затем сравните их координаты.
Решение:

1. Посмотрим на дробную часть: 0,5 — это половина единичного отрезка. Чтобы отметить её точно, разделим каждый единичный отрезок пополам.
2. Для C(−2,5) от нуля отсчитаем два целых отрезка и ещё половину против положительного направления. Для D(1,5) отсчитаем один отрезок и половину по положительному направлению.
3. Сравним получившиеся положения: C находится слева от нуля, а D — справа. Точка D расположена правее, значит, её координата больше.

Ответ: точки отмечены на расстояниях 2,5 единицы слева и 1,5 единицы справа от нуля; −2,5 < 1,5.

Типичные ошибки

Можно решить, что положительное направление всегда направлено вправо на листе. Так кажется привычным, но направление задаёт стрелка, и её можно нарисовать в любую сторону. Перед построением проверьте стрелку и определяйте знаки относительно неё.

Иногда любую точку справа от нуля считают точкой с координатой 1. Ошибка возникает, если замечают сторону, но не измеряют расстояние; кроме того, масштаб задаёт единичный отрезок. Сосчитайте, сколько таких отрезков помещается между нулём и точкой, и только тогда назовите координату.

Точке слева от начала отсчёта могут приписать положительное число, потому что учитывают только расстояние. Но расстояние не бывает отрицательным, а координата учитывает ещё и направление. Проверьте знак по выбранной стрелке: движение против неё соответствует отрицательным координатам.

Дробную координату иногда откладывают как целое число отрезков, не учитывая часть единицы. Это происходит, когда единичный отрезок не делят на равные части. Разделите его на части по знаменателю дроби и отсчитайте нужное число частей; для десятичных дробей, например 1,5, удобно отметить половину отрезка.

Связь с другими темами

Для работы с координатной осью нужно знать числа, в том числе отрицательные и дробные, и уметь сравнивать их. Отрицательные числа помогают описывать положение по одну сторону от нуля, а дробные — более точное расстояние между целыми отметками. Поэтому навыки счёта и сравнения чисел пригодятся при построении точек.

Координатная ось служит основой для координатной плоскости: там положение точки задают уже двумя координатами. Она также помогает изображать числовые промежутки и строить графики. Умение читать направление, масштаб и координаты переносится на эти темы.

Что запомнить

• Координатная ось — прямая с началом отсчёта, единичным отрезком и положительным направлением.
• Началу отсчёта соответствует число 0.
• Справа от начала отсчёта находятся положительные координаты, слева — отрицательные.
• Единичный отрезок задаёт масштаб координатной оси.
• Координата точки указывает её положение на оси.
• Чем правее точка на координатной оси, тем больше её координата.