5.9. Декартова система координат на плоскости

Определения и обозначения

Декартова система координат на плоскости — это две взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом, которые помогают задавать положение точек. Их пересечение называют началом координат и обозначают O. Такая система нужна, чтобы вместо длинного описания положения точки можно было использовать пару чисел.

Ось абсцисс — горизонтальная координатная ось, обычно её обозначают буквой x. Направление и деления этой оси позволяют определить первую координату точки. Благодаря им можно узнать, насколько точка находится правее или левее начала координат.

Ось ординат — вертикальная координатная ось, обычно её обозначают буквой y. По её направлению и делениям находят вторую координату точки. Она показывает положение точки выше или ниже начала координат.

Координаты точки — упорядоченная пара чисел (x; y): сначала указывают положение по оси абсцисс, потом по оси ординат. Порядок здесь важен: запись (3; 2) означает не то же самое, что (2; 3). Пара чисел позволяет однозначно указать точку на плоскости.

Как это устроено

Чтобы построить координатную систему, проведи горизонтальную и вертикальную прямые так, чтобы они пересеклись под прямым углом. Точку пересечения выбери началом отсчёта: от неё будут отсчитываться координаты в обе стороны. На каждой оси отметь деления и выбери единичный отрезок — расстояние, которое принимают за одну единицу. Без одинаково понятных делений нельзя точно определить, где именно поставить точку.

Точку задают двумя числами, потому что на плоскости есть два независимых направления: горизонтальное и вертикальное. Если провести через точку перпендикуляры к осям, получатся её проекции на оси — места, где эти перпендикуляры пересекают оси. Расстояние по горизонтали от начала задаёт x, а по вертикали — y. Одной координаты недостаточно: она оставила бы точку на целой прямой, а не указала бы её точное место.

Чтобы нанести точку (x; y), сначала найди на оси абсцисс значение x и через него мысленно проведи прямую, параллельную оси ординат. Затем найди на оси ординат значение y и проведи параллель, параллельную оси абсцисс. Точка пересечения этих прямых имеет нужные координаты. Такой способ удобен, потому что каждое число отвечает только за одно направление.

Чтобы определить координаты уже отмеченной точки, проведи через неё прямые, параллельные координатным осям. Место пересечения горизонтальной прямой с осью ординат показывает значение y, а вертикальной с осью абсцисс — значение x. Считывай не только деление, но и сторону от начала координат: слева и ниже значения отрицательные. Так можно избежать ошибки, когда расстояние найдено верно, а знак выбран неверно.

Знак координаты зависит от того, в какую сторону от начала координат находится точка. Справа от вертикальной оси x положителен, а слева отрицателен; выше горизонтальной оси y положителен, а ниже отрицателен. Это правило помогает определить четверть, то есть одну из четырёх областей между осями. Точки, лежащие на самих осях, к четвертям не относят.

Расположение точки и знаки её координат

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала определи, в какой области или на какой оси расположена точка. Затем проверь знаки координат по строке. Если точка лежит на оси, одна координата обязательно равна нулю.

Разбор задач

Задача 1. Отметьте на координатной плоскости точки A(3; 2), B(−2; 4) и C(−3; −1). Сначала смотрим на знаки: они подскажут, в какую сторону от начала координат двигаться. Затем откладываем каждую координату по своей оси и находим пересечение параллелей.

1. Для A(3; 2) отложи 3 единицы вправо по оси x и 2 единицы вверх по оси y. Проведи через отметки параллели к соответствующим осям; их пересечение — точка A в I четверти.
2. Для B(−2; 4) отложи 2 единицы влево и 4 вверх. Пересечение параллелей — точка B во II четверти, потому что x отрицателен, а y положителен.
3. Для C(−3; −1) отложи 3 единицы влево и 1 вниз. Полученная точка C лежит в III четверти, где обе координаты отрицательны.

Ответ: точки построены: A — в I четверти, B — во II, C — в III.

Задача 2. Определите координаты точки, которая расположена на 4 единицы левее начала координат и на 3 единицы выше него. Слова «левее» и «выше» задают направления, а числа 4 и 3 — расстояния. Поэтому сначала определяем знаки, а затем записываем координаты в установленном порядке.

1. Точка находится левее начала, значит, её первая координата отрицательна: x = −4.
2. Точка находится выше начала, значит, вторая координата положительна: y = 3.
3. Запиши сначала x, затем y в скобках через точку с запятой.

Ответ: (−4; 3).

Задача 3. Точка P имеет координаты (−2; 3). Постройте точки Q и R, симметричные P относительно оси абсцисс и оси ординат соответственно, и запишите их координаты. При отражении расстояние до оси сохраняется, а меняется только направление перпендикулярно этой оси. Поэтому одна координата остаётся прежней, а знак другой меняется.

1. Для Q отражаем P относительно оси абсцисс. Координата x сохраняется, а y меняет знак: Q(−2; −3).
2. Для R отражаем P относительно оси ординат. Координата y сохраняется, а x меняет знак: R(2; 3).
3. При построении проверь, что каждая исходная точка и её отражение находятся на одинаковом расстоянии от нужной оси, но по разные стороны от неё.

Ответ: Q(−2; −3), R(2; 3).

Типичные ошибки

Иногда координаты записывают в обратном порядке: сначала y, потом x. Так происходит, если забыть, что первая координата относится к горизонтальной оси абсцисс, а вторая — к вертикальной оси ординат. Проверь себя: в записи (x; y) сначала должно стоять число, отложенное по горизонтали.

Другая ошибка — считать обе координаты положительными, потому что расстояние не бывает отрицательным. Здесь путают расстояние с направлением: знак показывает, по какую сторону от начала координат лежит точка. Для проверки посмотри, находится ли точка левее или ниже начала: в этих направлениях соответствующая координата отрицательна.

При построении иногда обе координаты откладывают от начала по одной оси. Это не задаёт положение на плоскости: каждое число относится к своей оси. Проверь построение, проведя от найденной точки параллели к обеим осям: они должны пересекать оси на значениях x и y из условия.

Если точка лежит на оси, ей могут приписать ненулевую координату, соответствующую этой оси. Но на оси абсцисс у точки y = 0, а на оси ординат x = 0: точка лежит прямо на соответствующей оси, а не в стороне от неё. Чтобы проверить себя, проведи параллель к оси: координата, измеряемая перпендикулярно этой оси, окажется нулевой.

Связь с другими темами

Для работы с координатной плоскостью нужно уметь отмечать числа на числовой прямой, сравнивать положительные и отрицательные числа и пользоваться масштабом. Эти навыки помогают выбрать правильное направление и расстояние для каждой координаты. Если единичный отрезок задан, например, в две клетки, одно деление на оси нельзя принимать за одну клетку.

Координатная плоскость пригодится при построении графиков зависимостей: пара чисел может показывать значения двух связанных величин. В геометрии координаты помогают описывать положение точек и сравнивать его с расположением других точек. Поэтому важно понимать не только запись пары чисел, но и то, как она связана с точкой на чертеже.

Что запомнить

• Координаты точки записывают в порядке (x; y).
• Первая координата относится к оси абсцисс, вторая — к оси ординат.
• Оси координат перпендикулярны и имеют общее начало.
• Справа и выше начала координат значения положительны, слева и ниже — отрицательны.
• У точки на оси абсцисс вторая координата равна нулю.
• У точки на оси ординат первая координата равна нулю.
• В начале координат обе координаты равны нулю.