"Математика", Ткачёва М.В.
Окружность — граница круглой фигуры, а круг — вся часть плоскости внутри этой границы. Для вычислений используют радиус r, диаметр d и число π ≈ 3,14. Длину окружности находят по формулам C = 2πr или C = πd, а площадь круга — по формуле S = πr². Важно не путать единицы: длина записывается в сантиметрах или метрах, площадь — в квадратных единицах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки. Эта точка называется центром, а расстояние от центра до любой точки окружности — радиусом и обозначается r. Радиус помогает описать размер окружности и использовать формулы.
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. Окружность является только границей, а круг включает границу и всю область внутри неё. Такое различие нужно, потому что длину находят для окружности, а площадь — для круга.
Число π — отношение длины окружности к её диаметру: π = C/d. Для любых окружностей это отношение одинаково, поэтому π — постоянное число, приблизительно равное 3,14. Диаметр d — отрезок через центр от одной точки окружности до другой, причём d = 2r.
Длина окружности C показывает, сколько составляет её граница, и измеряется в миллиметрах, сантиметрах, метрах и других единицах длины. Площадь круга S показывает размер области внутри окружности и измеряется в квадратных единицах: см², м² и так далее. Буквы C и S помогают не перепутать две разные величины.
Если взять окружности разных размеров и измерить их длины и диаметры, отношение C/d получится почти одинаковым. Причина в том, что все окружности имеют одну и ту же форму: одна получается из другой растяжением. При растяжении в несколько раз и длина, и диаметр увеличиваются во столько же раз, поэтому их частное сохраняется. Это постоянное отношение обозначают буквой π.
Из равенства C/d = π можно получить формулу длины окружности. Умножим обе части на d и получим C = πd. Так как диаметр в два раза больше радиуса, d = 2r, то после подстановки выходит C = 2πr. Выбирайте ту запись, для которой известная величина подставляется сразу.
Площадь круга можно представить приближённо через площадь многоугольника, вписанного в окружность. Если увеличить число его сторон, многоугольник всё точнее заполняет круг, а сумма площадей его частей приближается к площади круга. При таком приближении получается, что площадь равна произведению π на квадрат радиуса: S = πr². Квадрат радиуса появляется потому, что площадь зависит от двух измерений, каждое из которых связано с радиусом.
Если радиус увеличить в k раз, формула C = 2πr показывает увеличение длины окружности в k раз. В формуле S = πr² новый радиус равен kr, поэтому S = π(kr)² = k²πr². Значит, площадь увеличивается в k² раз: при удвоении радиуса она возрастает в четыре раза.
Сначала определите, что требуется найти: границу или внутреннюю область. Для длины окружности используйте C = πd, если дан диаметр, и C = 2πr, если дан радиус. Для площади нужна формула S = πr², поэтому известный диаметр сначала разделите на 2. В конце проверьте единицы: у длины нет показателя ², а у площади он обязательно есть.
| Величина | Обозначение | Формула через радиус | Формула через диаметр | Единицы измерения |
|---|---|---|---|---|
| Длина окружности | C | C = 2πr | C = πd | мм, см, м |
| Площадь круга | S | S = πr² | S = π(d/2)² | мм², см², м² |
Сначала найдите в условии известную величину: радиус или диаметр. Затем выберите столбец с подходящей формулой и подставьте числа, не забывая единицы измерения.
Если дан диаметр, для площади можно воспользоваться формулой S = π(d/2)². Для длины окружности диаметр подставляется непосредственно, поэтому находить радиус в таком случае необязательно.
Радиус круга равен 5 см. Найдём длину ограничивающей его окружности и площадь круга. Возьмём π ≈ 3,14, чтобы получить приближённые числовые ответы.
Ответ: длина окружности равна примерно 31,4 см, площадь круга — примерно 78,5 см². Единицы различаются, потому что в первом случае найдена длина границы, а во втором — площадь области.
Длина окружности равна 18,84 см. Требуется найти диаметр и радиус. Здесь известна длина, поэтому сначала используем связь C = πd.
Ответ: диаметр равен 6 см, радиус — 3 см. Проверка: 2 · 3,14 · 3 = 18,84 см, значит найденные значения подходят.
Круглая клумба имеет диаметр 8 м. Нужно узнать длину ограждения для её границы и площадь клумбы. Для ограждения ищем длину окружности, а для площади сначала переводим диаметр в радиус.
Ответ: для границы нужно примерно 25,12 м ограждения, площадь клумбы составляет примерно 50,24 м². Метры относятся к длине ограждения, а квадратные метры — к площади клумбы.
Диаметр подставляют вместо радиуса в S = πr². Так происходит из-за смешения обозначений r и d. Прочитайте условие и, если дан диаметр, сначала найдите r = d/2; затем проверьте, что именно возводится в квадрат.
Путают единицы длины и площади. Длину окружности могут записать в см², а площадь — в см. Причина ошибки — внимание только к числу; проверяйте, есть ли у единицы квадрат.
Считают, что при удвоении радиуса площадь удваивается. В формуле площади радиус возводится в квадрат, поэтому увеличение в 2 раза даёт увеличение площади в 4 раза. Для проверки подставьте новый радиус в формулу.
Слишком рано округляют π или не указывают приближение. Из-за этого конечный ответ может немного измениться. Можно оставить точный ответ с π, а при использовании 3,14 писать знак ≈.
До изучения окружности нужно уметь находить радиус и диаметр по условию или рисунку: диаметр равен двум радиусам. Также пригодится формула площади прямоугольника, потому что идея площади связана с измерением области и умножением двух размеров.
Эти формулы применяют к круглым предметам и объектам: колёсам, дорожкам, клумбам, столам и участкам. По длине окружности можно рассчитать ограждение или путь колеса, а по площади круга — количество материала или размер поверхности.
Чем круг отличается от окружности?
Окружность — это только замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра. Круг включает и эту границу, и всю область внутри неё.
Почему число π одинаково для окружностей разного размера?
Все окружности имеют одинаковую форму и отличаются только размером. При увеличении окружности её длина и диаметр увеличиваются во столько же раз, поэтому их отношение не меняется и всегда равно π.
Как выбрать формулу, если дан диаметр, а не радиус?
Для длины окружности можно сразу использовать C = πd. Для площади сначала найдите радиус: r = d/2, а затем подставьте его в S = πr².
Почему площадь круга выражается через квадрат радиуса?
При увеличении радиуса в несколько раз круг расширяется сразу по двум направлениям. Поэтому его площадь увеличивается не в столько же раз, а в квадрат этого числа.
В каких единицах записывать длину окружности и площадь круга?
Длину окружности записывают в единицах длины: мм, см, м и других. Площадь круга записывают в квадратных единицах: мм², см², м².
§ 15. Длина окружности и площади круга
