§ 16. Цилиндр. Конус

Определения и обозначения

Цилиндр — тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. При этом два круга, полученные из противоположных сторон прямоугольника, становятся равными круговыми основаниями, а оставшаяся сторона образует боковую поверхность. Такое определение помогает представить цилиндр как тело вращения и узнавать его в предметах вроде банки или стакана.

Конус — тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Другой катет образует круговое основание, а гипотенуза описывает боковую поверхность, сходящуюся в одной точке — вершине. Поэтому у конуса одно основание и одна вершина.

Высота цилиндра и конуса — перпендикулярное расстояние между основаниями цилиндра или от вершины конуса до плоскости основания. Перпендикулярность означает, что отрезок образует с плоскостью основания прямой угол. Высота нужна для измерения размера тела «снизу вверх» и решения задач.

Образующая — отрезок боковой поверхности, показывающий, как эта поверхность образуется при вращении. У цилиндра образующая соединяет соответствующие точки двух оснований, а у конуса идёт от вершины к окружности основания. По образующей удобно представлять боковую поверхность и строить её развёртку.

Как это устроено

Представим прямоугольник, лежащий на столе, и начнём вращать его вокруг одной стороны. Вторая сторона будет двигаться по окружности: именно поэтому она образует радиус кругового основания, а сама ось вращения становится высотой цилиндра. Все положения другой стороны создают боковую поверхность, поэтому цилиндр имеет одинаковые круги сверху и снизу.

Если вращать прямоугольный треугольник вокруг катета, второй катет описывает круг. Вершина треугольника, лежащая на оси вращения, остаётся неподвижной, поэтому все образующие боковой поверхности сходятся в одной точке. Так получается конус с одним основанием и вершиной, а не двумя основаниями.

На изображении цилиндра два овала обычно показывают видимые круговые основания. Радиус проводят от центра одного основания к его окружности, высоту — между плоскостями оснований, а ось соединяет их центры. Образующая идёт по боковой поверхности параллельно оси; в прямом цилиндре она равна высоте.

У конуса высота проводится от вершины к плоскости основания под прямым углом. В прямом круговом конусе её конец находится в центре основания, а образующая соединяет вершину с любой точкой окружности. Поэтому образующая наклонена, и по рисунку её нельзя принимать за высоту: нужно сначала проверить, образует ли отрезок прямой угол с основанием.

Развёртка показывает поверхность тела на плоскости без разрезов по отдельным частям. Боковая поверхность цилиндра превращается в прямоугольник: одна его сторона равна высоте, а другая — длине окружности основания; к нему присоединяются два круга. У конуса боковая поверхность становится сектором круга, а основание — отдельным кругом.

Сравнение цилиндра и конуса

Сначала по таблице удобно определить число оснований и наличие вершины: эти признаки сразу разделяют цилиндр и конус. Затем сравнивают высоту, ось и образующую, обращая внимание на их расположение. Последняя строка помогает не перепутать развёртку боковой поверхности с развёрткой всего тела.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке изображён цилиндр. Нужно назвать его основания, ось, высоту, радиус основания и образующую. Обозначения на конкретном рисунке могут быть разными, поэтому элементы определяем не по буквам, а по их свойствам.

1. Находим два равных круга сверху и снизу: это основания цилиндра.
2. Соединяем их центры: получаем ось цилиндра.
3. Перпендикулярный отрезок между основаниями является высотой.
4. Отрезок от центра основания до окружности — радиус, а отрезок на боковой поверхности, соединяющий соответствующие точки оснований, — образующая.

Ответ: основания — верхний и нижний круги; ось соединяет их центры; высота перпендикулярна основаниям; радиус идёт от центра к окружности; образующая расположена на боковой поверхности параллельно оси.

Задача 2

Сравним цилиндр и конус с одинаковыми радиусами оснований и высотами. Нужно указать общие признаки и различия, не забывая, что одинаковые размеры ещё не делают тела одинаковыми. Сравнение проводим по определениям и свойствам.

1. Общий признак: оба тела имеют круговое основание, радиус и высоту, а также боковую поверхность.
2. У цилиндра два равных параллельных основания, а у конуса одно основание.
3. У цилиндра нет единой вершины, а у конуса есть вершина, к которой сходятся образующие.
4. Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник, а боковая поверхность конуса — в сектор круга.

Ответ: общими являются круговое основание, радиус и высота; различия состоят в количестве оснований, наличии вершины и форме развёртки боковой поверхности.

Задача 3

Прямоугольник со сторонами 4 см и 7 см вращается сначала вокруг одной, затем вокруг другой стороны. При вращении сторона-ось остаётся на месте, а другая сторона становится радиусом кругового основания. Поэтому для каждого случая отдельно определяем радиус и высоту.

1. При вращении вокруг стороны 4 см она становится высотой, а сторона 7 см — радиусом. Получаем r = 7 см, h = 4 см.
2. При вращении вокруг стороны 7 см она становится высотой, а сторона 4 см — радиусом. Получаем r = 4 см, h = 7 см.

Ответ: при вращении вокруг стороны 4 см радиус равен 7 см, высота — 4 см; при вращении вокруг стороны 7 см радиус равен 4 см, высота — 7 см. Проверка проста: высотой всегда является сторона, вокруг которой вращают.

Типичные ошибки

Образующую конуса называют высотой. Так происходит, потому что оба отрезка начинаются в вершине, но образующая наклонена к основанию, а высота перпендикулярна ему. Проверьте себя: если угол с плоскостью основания не прямой, это не высота.

Считают, что у цилиндра есть вершина. Одна точка не может заменить целую окружность перехода между основанием и боковой поверхностью, поэтому у цилиндра нет единой вершины. Проверьте число оснований: у цилиндра два равных круга.

Путают радиус с диаметром. Радиус идёт от центра до окружности, а диаметр проходит через центр от одной точки окружности до другой и равен двум радиусам. Для проверки найдите центр: если отрезок не заканчивается в нём, это не радиус.

Рисуют развёртку конуса прямоугольником. Прямоугольник соответствует боковой поверхности цилиндра, потому что при разворачивании его высота сохраняется, а окружность основания становится стороной. У конуса боковая поверхность даёт сектор, к которому присоединяется круг основания.

Связь с другими темами

До изучения цилиндра и конуса нужно знать круг и окружность, радиус и диаметр. Также пригодится понимание перпендикуляра и умение находить площадь прямоугольника. Эти знания помогают читать чертежи и распознавать элементы тел.

Тема подготавливает к вычислению площадей поверхностей и объёмов цилиндра и конуса. Развёртки позволяют свести задачу о поверхности тела к задачам о кругах, секторах и прямоугольниках. Поэтому геометрические формулы становятся нагляднее.

Цилиндры и конусы встречаются при описании реальных предметов и тел вращения. Их модели используют в геометрии, физике и технике: например, при изучении деталей, сосудов и вращающихся объектов. Умение выделять основания, ось и высоту помогает описывать такие объекты точно.

Что запомнить

• Цилиндр имеет два равных параллельных круговых основания.
• Конус имеет одно круговое основание и вершину.
• Высота — перпендикулярное расстояние до основания или между основаниями.
• У цилиндра образующая параллельна его оси и равна высоте.
• У конуса образующая соединяет вершину с точкой окружности основания.
• Развёртка цилиндра состоит из двух кругов и прямоугольника.
• Развёртка конуса состоит из круга и сектора.