§ 17. Сфера и шар

Определения и обозначения

Сфера — поверхность, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Можно представить тонкую оболочку мяча без внутреннего содержимого. Это определение помогает отличить наружную границу тела от самого объёмного предмета.

Шар — тело, состоящее из сферы и всех точек внутри неё. Поэтому шар включает и оболочку, и заполненное пространство под ней. Такое понятие нужно, когда рассматривают объёмный предмет целиком.

Радиус шара — отрезок, соединяющий центр шара с точкой сферы; его длина обозначается R. У каждого такого отрезка длина одинакова, потому что все точки сферы равноудалены от центра. Радиус показывает размер шара.

Диаметр шара — отрезок, проходящий через центр и соединяющий две точки сферы. Его длина вдвое больше радиуса: d = 2R. Диаметр позволяет быстро определить ширину шара через его середину.

Как это устроено

Чтобы получить сферу, сначала выбирают точку — центр, а затем фиксированное расстояние — радиус. Все точки, которые удалены от центра ровно на это расстояние, образуют поверхность сферы. Точки с меньшим или большим расстоянием принадлежат уже другим частям пространства, поэтому в сферу как поверхность не входят.

Сфера является границей шара, потому что отделяет внутреннюю область от внешнего пространства. Если взять только оболочку мяча, мы говорим о сфере, а если учитывать и всё, что находится внутри оболочки, — о шаре. Именно поэтому у сферы нет внутреннего объёма, а у шара есть внутренняя часть.

Любой радиус начинается в центре и заканчивается на сфере. Расстояние от центра до поверхности в любом направлении одинаково, значит, длины всех радиусов равны R. Диаметр складывается из двух радиусов, направленных в противоположные стороны, поэтому d = R + R = 2R.

Положение точки определяют сравнением её расстояния до центра с радиусом. При расстоянии меньше R точка лежит внутри шара, при расстоянии, равном R, — на сфере, а при расстоянии больше R — вне шара. Такое сравнение не требует рисунка: достаточно знать два числа.

Если плоскость пересекает шар, она захватывает часть его внутренней области, и граница сечения образует круг. У сферы внутренней области нет, поэтому плоскость встречается только с её поверхностью, создавая окружность. В центре шара сечение будет самым большим, а при смещении плоскости оно уменьшится.

Сфера и шар: основные различия и общие элементы

В таблице сначала найдите нужное свойство, а затем сравните определения для сферы и шара. Особенно внимательно смотрите на слова «поверхность» и «внутренняя область». Формула d = 2R подходит для определения диаметра в обоих случаях.

Разбор задач

Задача 1

Назовите, что моделируют футбольный мяч, его наружная поверхность и металлический шарик: сферу или шар. Нужно выяснить, рассматривается ли предмет целиком или только его граница.

1. Футбольный мяч имеет внутреннее пространство и наружную оболочку, поэтому его относят к шару.
2. Наружная поверхность мяча — только граница тела, значит, это сфера.
3. Металлический шарик является объёмным предметом с заполненной внутренней частью, поэтому он моделирует шар.

Ответ: футбольный мяч и металлический шарик — шар, наружная поверхность мяча — сфера.

Задача 2

Радиус шара равен 7 см. Найдите диаметр. Затем определите радиус, если диаметр равен 18 см. Используем связь d = 2R, а для обратного перехода выразим радиус: R = d : 2.

1. При R = 7 см диаметр равен d = 2 · 7 = 14 см.
2. При d = 18 см радиус равен R = 18 : 2 = 9 см.
3. Проверяем: 2 · 9 = 18 см, значит, второе вычисление выполнено верно.

Ответ: диаметр равен 14 см; радиус при диаметре 18 см равен 9 см.

Задача 3

Расстояния от центра до точек A, B и C равны соответственно 5 см, 8 см и 11 см. Радиус шара равен 8 см. Сравним каждое расстояние с радиусом, чтобы определить положение точек.

1. Для точки A: 5 см < 8 см, поэтому A находится внутри шара.
2. Для точки B: 8 см = 8 см, поэтому B лежит на сфере.
3. Для точки C: 11 см > 8 см, поэтому C находится вне шара.

Ответ: A — внутри шара, B — на сфере, C — вне шара.

Типичные ошибки

Называют шаром только наружную поверхность. Ошибка возникает из-за сходства слов в обычной речи: мячом часто называют именно оболочку. Проверьте себя вопросом: учитывается ли область внутри поверхности; если нет, это сфера.

Путают радиус и диаметр. Радиус идёт от центра до поверхности, а диаметр соединяет две точки поверхности через центр и вдвое длиннее. Для проверки найдите середину диаметра: она должна совпасть с центром, а половина диаметра — с радиусом.

Считают точку с расстоянием, равным радиусу, внутренней. На самом деле такая точка лежит на границе шара, то есть на сфере. Сравнение знаками <, = и > сразу помогает выбрать правильное положение.

Полагают, что любой отрезок между двумя точками сферы является диаметром. Диаметр обязан проходить через центр, а произвольный отрезок может оказаться короче. Проведите мысленно линию через середину отрезка: если центра на ней нет, это не диаметр.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны окружность, круг, центр, радиус и диаметр, а также умение сравнивать расстояния. Позже сфера и шар встретятся при изучении площади поверхности и объёма, а ещё в пространственных геометрических задачах. В жизни эти знания помогают распознавать сферические и шарообразные формы в технике, архитектуре и быту.

Что запомнить

• Сфера — поверхность, шар — тело.
• Все точки сферы равноудалены от её центра.
• Расстояние от центра до сферы называют радиусом.
• Диаметр проходит через центр и равен двум радиусам.
• Точка внутри шара находится от центра на расстоянии меньше радиуса.
• Точка на сфере находится от центра на расстоянии, равном радиусу.
• Сечение сферы — окружность, а сечение шара — круг.