§ 26. Совместные действия с рациональными числами

Определения и обозначения

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. К рациональным относятся целые числа, обыкновенные дроби и конечные десятичные дроби. Это понятие нужно, чтобы применять одни и те же правила к разным видам чисел.

Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков действий и скобок. Например, −8 + 3 · (−2) — числовое выражение. Его значение находят не произвольно, а выполняя действия в установленном порядке.

Порядок действий — правила, которые определяют последовательность вычислений в выражении с несколькими действиями. Благодаря ему у всех учеников получается одно и то же значение. Без такого правила одно выражение можно было бы прочитать по-разному.

Скобки — знаки, выделяющие часть выражения, действия в которой выполняют раньше остальных. Они могут изменить весь результат, потому что задают отдельный первый шаг. Если скобки вложены, сначала вычисляют самые внутренние из них.

Как это устроено

При наличии скобок сначала находят значение выражения внутри них. Скобки показывают, что эта часть должна рассматриваться как единое целое до остальных действий. Если внутри есть другие скобки, начинают с внутренних, потому что внешний результат зависит от них.

Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания. Эти действия имеют более высокий приоритет, то есть связывают числа сильнее. Например, в выражении 2 + 3 · 4 сначала получают 12, а затем прибавляют 2; предварительное сложение дало бы другое, неверное значение.

Действия одного приоритета выполняют слева направо. Это правило отдельно относится к умножению и делению, а также к сложению и вычитанию. Например, в записи 24 : 6 · 2 сначала делят 24 на 6, затем результат умножают на 2.

В длинном выражении удобно последовательно отмечать уже выполненные действия. Сначала находят самый внутренний фрагмент в скобках, затем переходят к следующему шагу по приоритету. Так запись постепенно упрощается, и нельзя случайно перескочить через нужное действие.

На каждом шаге используют правило именно того действия, которое выполняется. При умножении и делении следят за знаками: одинаковые знаки дают положительный результат, разные — отрицательный. При сложении и вычитании отрицательных чисел также полезно записывать знак каждого промежуточного ответа.

Порядок выполнения действий в выражении

Чтобы пользоваться таблицей, сначала просмотри всё выражение и найди скобки. Затем выполняй действия по очереди: сначала скобки, потом умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Если действий одного вида несколько, не выбирай первое попавшееся справа или слева по своему желанию. Иди по записи слева направо, каждый раз переписывая оставшуюся часть выражения.

Разбор задач

Задача 1

Вычислим выражение −8 + 3 · (−2). В нём есть умножение и сложение, а скобки только показывают отрицательный множитель. Поэтому сначала найдём произведение, а затем выполним сложение.

1. Умножаем числа: 3 · (−2) = −6.
2. Подставляем результат: −8 + (−6).
3. Складываем два отрицательных числа: −8 + (−6) = −14.

Ответ: −14. Знак произведения отрицательный, потому что множители имеют разные знаки. После этого к отрицательному числу прибавилось ещё отрицательное число.

Задача 2

Вычислим выражение 4,5 − 12 : (−3) + 2. Сначала выполняется деление, поскольку оно имеет больший приоритет, чем сложение и вычитание. После деления оставшиеся действия выполняем слева направо.

1. Делим: 12 : (−3) = −4.
2. Получаем 4,5 − (−4) + 2.
3. Слева направо: 4,5 − (−4) = 8,5.
4. Затем 8,5 + 2 = 10,5.

Ответ: 10,5. При вычитании отрицательного числа знак меняется на сложение: 4,5 − (−4) = 4,5 + 4. Именно поэтому результат после первого действия увеличился.

Задача 3

Вычислим выражение [−6 + 2 · (5 − 8)] : (−2) − 1,5. Квадратные скобки тоже являются скобками, поэтому сначала работаем внутри них, начиная с круглых. Только после нахождения значения квадратных скобок выполняем деление и вычитание.

1. Внутри круглых скобок: 5 − 8 = −3.
2. Умножаем: 2 · (−3) = −6.
3. В квадратных скобках: −6 + (−6) = −12.
4. Делим: (−12) : (−2) = 6.
5. Вычитаем: 6 − 1,5 = 4,5.

Ответ: 4,5. В записи каждый новый результат подставлялся на место выполненного действия. Знаки −3, −6 и −12 сохранены, поэтому деление двух отрицательных чисел дало положительный результат.

Типичные ошибки

Иногда сложение выполняют раньше умножения, потому что знак сложения расположен левее. Так поступать нельзя: без скобок умножение имеет более высокий приоритет. Проверь себя, подчеркнув сначала все действия умножения и деления.

Другая ошибка — выполнять умножение и деление или сложение и вычитание не слева направо. У этих действий одинаковый приоритет, поэтому порядок записи определяет последовательность. Для проверки перепиши выражение после каждого выполненного действия.

Некоторые начинают с действий вне скобок, не заметив выделенную часть. Скобки специально показывают, что их содержимое нужно вычислить раньше. Проверь себя вопросом: остались ли в выражении неиспользованные скобки.

При вычислениях часто теряют минус отрицательного числа. Это происходит, если записывать только модуль результата или переносить число без знака. Записывай промежуточные ответы целиком и отдельно проверяй знак произведения, частного или суммы.

Связь с другими темами

До изучения этой темы нужно уметь складывать, вычитать, умножать и делить рациональные числа. Особенно пригодятся правила действий с отрицательными дробями и десятичными дробями. Если сами действия ещё вызывают трудности, сначала повтори их отдельно.

Порядок действий нужен не только для отдельных примеров. Он используется при вычислении значений выражений, решении уравнений и преобразовании числовых и буквенных выражений. Умение правильно читать длинную запись помогает проверять решения в следующих темах.

Что запомнить

• Сначала выполняй действия в скобках.
• Умножение и деление выполняй раньше сложения и вычитания.
• Действия одинакового приоритета выполняй слева направо.
• При вычислениях не теряй знак каждого рационального числа.
• После каждого шага проверяй, не нарушен ли порядок действий.
• Скобки можно раскрывать вычислениями только после того, как определён порядок действий внутри них.