Практические и прикладные задачи

Определения и обозначения

Практическая задача — задача, связанная с реальной жизненной ситуацией и требующая получить полезный для неё ответ. Например, нужно узнать стоимость покупки или длину ограждения. Такое определение помогает понять, зачем выполняются вычисления.

Прикладная задача — задача, в которой реальные условия переводят на язык математики, чтобы применить математические знания. Сначала мы рассматриваем ситуацию, а затем выбираем числа, величины и действия. Это нужно, чтобы решать жизненные вопросы с помощью правил математики.

Математическая модель — запись ситуации с помощью чисел, величин, схем, выражений или уравнений. Она показывает, как связаны данные задачи. Благодаря модели длинное условие превращается в понятную математическую задачу.

Ответ задачи — результат вычислений, записанный с учётом вопроса и единиц измерения. Число само по себе не всегда объясняет, что найдено. Поэтому ответ формулируют словами: например, «одна тетрадь стоит 30 рублей».

Как это устроено

Сначала выделяют известные и неизвестные величины. Известные величины уже даны в условии, а неизвестная отвечает на вопрос задачи. Полезно сделать краткую запись: выписать числа с единицами и отдельно сформулировать, что нужно найти.

Перед вычислениями нужно установить связь между величинами, потому что одно и то же число может участвовать в разных действиях. Например, общую стоимость связывают с количеством покупок и ценой одного предмета. Если сразу начать считать по порядку появления чисел, можно получить верный результат для другого вопроса.

Чтобы составить математическую модель, выбирают удобную форму записи. Схема показывает части и целое, таблица помогает сравнить величины, выражение объединяет известные числа, а уравнение записывает неизвестную величину. Подходящая модель делает рассуждение коротким и проверяемым.

После составления модели решают математическую задачу. Сначала выполняют действия, которые находят промежуточную величину, необходимую для ответа, а затем получают искомое число. Например, в задаче на движение сначала можно найти скорость, а потом расстояние.

Результат нужно сопоставить с исходными условиями, потому что вычисления не гарантируют правильность решения. Проверьте, не слишком ли велико или мало число, совпадают ли единицы и отвечает ли результат на заданный вопрос. Затем запишите ответ словами с подходящей единицей измерения.

Этапы решения практической задачи

Пользуйтесь таблицей как последовательной памяткой: не переходите к следующему этапу, пока не понятен предыдущий. Если ответ кажется странным, вернитесь к модели и проверьте связь между величинами.

Краткую запись можно изменять по ходу решения. Главное, чтобы она помогала видеть данные, неизвестное и путь к ответу.

Разбор задач

Задача 1. Покупка тетрадей

За 3 одинаковые тетради заплатили 90 рублей. Нужно узнать цену одной тетради. Так как тетради одинаковые, общую стоимость можно разделить на количество тетрадей.

1. Известны общая стоимость 90 рублей и количество тетрадей 3.
2. Цена одной тетради равна общей стоимости, делённой на количество: 90 : 3 = 30 рублей.
3. Проверяем: 30 · 3 = 90 рублей, значит, вычисление соответствует условию.

Ответ: одна тетрадь стоит 30 рублей.

Задача 2. Движение велосипедиста

Велосипедист проехал 36 км за 2 часа. Нужно определить, какое расстояние он проедет за 5 часов с той же скоростью. Сначала находят скорость, потому что именно она связывает расстояние и время.

1. Скорость велосипедиста: 36 : 2 = 18 км/ч.
2. За 5 часов он проедет 18 · 5 = 90 км.
3. Проверка показывает, что за большее время при той же скорости расстояние должно увеличиться, поэтому результат разумен.

Ответ: за 5 часов велосипедист проедет 90 км.

Задача 3. Ограждение площадки

Прямоугольная площадка имеет длину 12 м и ширину 8 м. Нужно купить ограждение, оставив проём шириной 2 м. Сначала найдём весь периметр площадки, а затем уберём часть, где ограждения не будет.

1. Периметр прямоугольника: P = 2 · (12 + 8) = 40 м.
2. Длина ограждения с учётом проёма: 40 − 2 = 38 м.
3. Единица ответа — метры, потому что мы измеряем длину ограждения, а не площадь площадки.

Ответ: потребуется 38 м ограждения.

Типичные ошибки

Ошибка — начинать вычисления, не выяснив вопрос задачи. Ученик может найти промежуточную величину и принять её за ответ. Проверьте себя: сформулируйте вопрос своими словами и сравните его с найденным числом.

Нельзя путать величины и единицы измерения, например складывать метры и квадратные метры. Такое действие соединяет длину и площадь, которые имеют разный смысл. Перед вычислением проверьте, одинаковы ли единицы и что именно они измеряют.

Иногда действие выбирают по отдельному слову: увидев слово «всего», сразу складывают числа. Но действие определяется связью величин, а не одним словом в условии. Составьте краткую запись или схему и объясните, почему выбранное действие подходит.

Ещё одна ошибка — записать только вычисленное число без проверки и пояснения. Тогда непонятно, отвечает ли результат на вопрос и не потеряна ли единица измерения. Перечитайте условие, оцените разумность числа и оформите ответ словами.

Связь с другими темами

Для решения практических задач нужны действия с натуральными числами и дробями, умение находить долю или величину по известным данным, а также навык пользоваться единицами измерения. Эти умения помогают переводить описание ситуации в вычисления.

Построение математической модели пригодится в задачах на движение, покупки, работу и проценты. Позже тот же способ рассуждения поможет составлять и решать уравнения: неизвестное обозначают буквой и записывают его связь с известными величинами.

Что запомнить

• Сначала выясни, что известно и что требуется найти.
• Запиши связь между величинами.
• Переведи ситуацию на язык математики.
• Реши полученную математическую задачу.
• Проверь, подходит ли результат к условию.
• Запиши ответ с единицами измерения.