З Занятие 1. Целые и рациональные числа

Определения и обозначения

Целые числа — это положительные числа, отрицательные числа и число 0. Их множество обозначают ℤ: ℤ = {…; −2; −1; 0; 1; 2; …}. Оно нужно, чтобы описывать результат вычитания, когда из меньшего числа вычитают большее.

Противоположные числа расположены на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны числовой прямой. Например, −4 и 4, −½ и ½ образуют пары противоположных чисел. У них одинаковые модули и разные знаки, а 0 противоположно самому себе.

Модуль числа — это расстояние от числа до нуля. Его записывают так: |a|, поэтому |−7| = 7, а |3| = 3. Модуль помогает сравнивать удалённость чисел от нуля и не может быть отрицательным.

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное число. Их множество обозначают ℚ. В него входят целые числа, обыкновенные дроби, конечные и периодические десятичные дроби.

Как это устроено

Натуральные числа удобны для счёта предметов, но их недостаточно для любого вычитания. Например, разность 3 − 5 не является натуральным числом. Поэтому к натуральным добавили 0 и отрицательные числа: 3 − 5 = −2, а все такие результаты стали целыми.

Чтобы изобразить числа, проводят координатную прямую и выбирают на ней начало отсчёта — точку 0. Справа от нуля отмечают положительное направление, потому что при движении туда числа увеличиваются. Единичный отрезок задаёт масштаб: одинаковые отрезки соответствуют соседним целым числам.

Положение точки на прямой позволяет сравнивать числа без сложных вычислений. Если одна точка находится левее другой, её число меньше, поскольку движение вправо связано с возрастанием. Поэтому −4 < −1, хотя цифра 4 больше цифры 1.

Целые числа входят в рациональные, потому что каждое из них можно представить дробью со знаменателем 1. Например, −6 = −6/1, 0 = 0/1, 8 = 8/1. Значит, всякое целое число рационально, но не всякое рациональное число целое.

Рациональные числа встречаются в разных формах записи. Дробь 3/4 равна конечной десятичной дроби 0,75, а 2/3 равна периодической дроби 0,(6). Записи могут выглядеть по-разному, но обозначать одну и ту же величину, поэтому перед сравнением иногда полезно привести их к общей форме.

Основные числовые множества и связанные понятия

Таблица помогает сначала определить вид записи, а затем проверить, к какому множеству относится число. Для модуля и противоположного числа нужно смотреть не на множество, а на положение относительно нуля и знак.

Цепочка ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ показывает включение множеств. Если число натуральное, оно одновременно целое и рациональное, но рациональное число может быть дробным или отрицательным.

Разбор задач

1. Распределение чисел по группам

Распределите числа −7, 0, 3, 5/8, −2,4, 0,(6) по группам: целые и рациональные. Сначала проверим, какие записи не содержат дробной части. Затем вспомним, что целые числа входят в рациональные.

1. К целым относятся −7, 0 и 3: они не имеют дробной части.
2. Числа 5/8, −2,4 и 0,(6) не являются целыми, но являются рациональными, потому что это дробь, конечная десятичная и периодическая десятичная дроби.
3. Добавим целые числа в группу рациональных: −7, 0, 3, 5/8, −2,4, 0,(6).

Ответ: целые числа — −7, 0, 3. Рациональные числа — все шесть данных чисел. Это пример того, что множество рациональных шире множества целых.

2. Сравнение и модули

Сравните числа −3, −8, 0, 2 и найдите модули чисел −3 и 2. Для сравнения расположим числа на координатной прямой слева направо. Для модуля определим расстояние каждой точки до нуля.

1. Слева направо числа стоят так: −8, −3, 0, 2.
2. Значит, −8 < −3 < 0 < 2.
3. Расстояние от −3 до 0 равно 3, поэтому |−3| = 3.
4. Расстояние от 2 до 0 равно 2, поэтому |2| = 2.

Ответ: −8 < −3 < 0 < 2; |−3| = 3, |2| = 2. Знак минус влияет на положение числа, но не делает модуль отрицательным.

3. Противоположное число и сравнение дробей

Запишите число, противоположное −5/6, сравните его с −0,7 и расположите оба числа на координатной прямой. Сначала изменим знак, затем приведём записи к удобному виду. Для сравнения можно заметить, что 5/6 ≈ 0,833, а −5/6 находится левее −0,7.

1. Число, противоположное −5/6, равно 5/6.
2. Сравним исходную дробь с −0,7: −5/6 = −0,833…
3. Так как −0,833… левее −0,7, получаем −5/6 < −0,7.
4. На прямой сначала отмечают −5/6, затем −0,7; обе точки находятся слева от нуля.

Ответ: противоположное число — 5/6. Сравнение: −5/6 < −0,7. Порядок слева направо: −5/6, −0,7, 0, 5/6.

Типичные ошибки

Иногда 0 исключают из целых чисел, потому что он не положительный и не отрицательный. Ошибка возникает из-за смешения двух разных утверждений: ноль действительно не имеет знака, но входит в ℤ. Проверка простая: вспомните запись ℤ = {…; −1; 0; 1; …}.

Противоположное число путают с обратным. Противоположное для −a — это a, а обратное для a — 1/a при a ≠ 0. Чтобы проверить себя, спросите: меняется знак или число переворачивается в дроби?

Модулю иногда приписывают знак исходного числа и получают отрицательный результат. Но модуль означает расстояние до нуля, поэтому |−4| = 4, а не −4. Проверяйте ответ вопросом: может ли расстояние быть меньше нуля?

Отрицательные числа сравнивают по цифрам без учёта их положения слева от нуля. Из-за этого ошибочно считают −8 больше −3. Отметьте числа на прямой: левее расположено меньшее, поэтому −8 < −3.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны натуральные числа, обыкновенные и десятичные дроби, координатный луч и сравнение чисел. Эти знания помогают понимать записи и отмечать точки на прямой. Если одна из основ забыта, полезно повторить её перед решением задач.

Дальше целые и рациональные числа понадобятся при сложении, вычитании, умножении и делении чисел с разными знаками. На них строятся преобразование выражений и решение уравнений. Понимание модуля особенно пригодится при сравнении расстояний и числовых значений.

В других предметах рациональные числа описывают температуру, высоту, долги и прибыль. Температура −6 °C показывает значение ниже нуля, а высота −20 м — положение ниже выбранного уровня. Дроби позволяют записывать части величин, например 2,5 кг или ¾ часа.

Что запомнить

• Множество целых чисел включает отрицательные числа, ноль и положительные числа.
• Рациональное число можно представить в виде дроби m/n, где m — целое, а n ≠ 0.
• Каждое целое число является рациональным.
• Противоположные числа имеют одинаковые модули и разные знаки, кроме нуля.
• Модуль числа — это расстояние от него до нуля.
• На координатной прямой меньше то число, которое расположено левее.
• Множества чисел связаны включением: ℕ входит в ℤ, а ℤ входит в ℚ.