З Занятие 2. Действительные числа

Определения и обозначения

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n не равно нулю. Например, 4 = 4/1, а −3/5 уже записано в виде такой дроби. Это определение помогает проверить, можно ли выразить число через целые числа.

Иррациональное число нельзя представить в виде дроби, у которой числитель и знаменатель — целые числа. Его десятичная запись бесконечна и не является периодической, то есть никакая группа цифр не повторяется снова и снова. К таким числам относятся √2 и π. Это понятие нужно для чисел, которые не удаётся выразить обычной дробью.

Действительные числа — все рациональные и иррациональные числа вместе. Например, −3/5 — рациональное действительное число, а √2 — иррациональное действительное число. Такое объединение позволяет говорить обо всех числах, которым соответствуют точки числовой прямой.

Числовая прямая — прямая с началом отсчёта, единичным отрезком и выбранным положительным направлением. Начало соответствует нулю, а единичный отрезок задаёт расстояние от 0 до 1. Каждое число обозначают точкой, поэтому прямая помогает изображать числа и сравнивать их.

Как это устроено

Дроби относятся к рациональным числам прямо по определению: дробь уже показывает отношение двух целых чисел. Целое число тоже можно записать дробью со знаменателем 1, например 7 = 7/1. Конечную десятичную дробь можно превратить в обыкновенную, потому что после запятой у неё конечное число цифр: 0,25 = 25/100. Периодическую дробь также можно представить отношением целых чисел, поэтому она рациональна, хотя её запись не заканчивается.

У рационального числа десятичная запись либо заканчивается, либо повторяет один и тот же период. Иррациональное число не заканчивается и не повторяет цифры по постоянному циклу. Например, √2 ≈ 1,4142…, а π ≈ 3,1415…; многоточие показывает, что запись продолжается. По этой особенности можно отличить иррациональное число от бесконечной периодической дроби.

Рациональных чисел недостаточно, чтобы обозначить каждую точку прямой. Например, диагональ квадрата со стороной 1 имеет длину √2, и такая длина соответствует точке на числовой прямой. Но √2 нельзя записать дробью из целых чисел. Значит, на прямой есть точки, которым рациональных чисел не хватает.

Когда к рациональным числам добавляют иррациональные, получается множество действительных чисел. Рациональные числа дают точки, соответствующие дробям, а иррациональные заполняют точки, для которых таких дробей нет. Поэтому каждой точке числовой прямой соответствует действительное число, и каждому действительному числу — точка на этой прямой.

Сравнивать действительные числа удобно по их положению: точка правее соответствует большему числу. Для иррационального числа можно найти десятичное приближение и сравнить его с другим числом, уточняя запись при необходимости. Например, √2 находится между 1,4 и 1,5, потому что √2 ≈ 1,414. Приближение помогает определить порядок, но не становится самим иррациональным числом.

Рациональные и иррациональные числа

Чтобы определить вид числа, сначала проверь, можно ли представить его дробью из целых чисел. Если дана десятичная запись, конечная или повторяющийся период означает рациональное число, а бесконечная запись без периода — иррациональное. Обе группы изображаются точками одной числовой прямой.

Разбор задач

Задача 1. Определите, какие из чисел 4, −3/5, 0,25 и 0,(6) являются рациональными. Нужно проверить, можно ли каждое представить отношением целых чисел. Целое число записываем со знаменателем 1, а десятичные дроби — обыкновенными дробями или отношениями целых чисел. Так мы применяем определение, а не ориентируемся только на внешний вид записи.

1. 4 = 4/1, значит, это рациональное число.
2. −3/5 уже является отношением целых чисел, поэтому оно рациональное.
3. 0,25 = 25/100 = 1/4, значит, число рациональное.
4. 0,(6) — периодическая дробь, она равна 2/3, поэтому тоже рациональна.

Ответ: все четыре числа рациональные. Здесь важно, что периодическая дробь тоже представима отношением целых чисел.

Задача 2. Определите, какие из чисел √2, √9 и π рациональны, а какие иррациональны. Сначала проверим, даёт ли корень точное целое число. Если под корнем не точный квадрат целого числа, результат может быть иррациональным; π — известный пример иррационального числа.

1. √2 не является целым числом и не выражается дробью из целых чисел, поэтому это иррациональное число.
2. √9 = 3, а 3 = 3/1, значит, это рациональное число.
3. π нельзя представить отношением целых чисел, поэтому оно иррациональное.

Ответ: √2 и π — иррациональные числа, √9 — рациональное. Сам знак корня ещё не определяет, к какой группе относится результат.

Задача 3. Расположите числа 1,4, √2 и 1,5 в порядке возрастания. Сравним их значения: рациональные числа уже записаны десятичными дробями, а √2 оценим приближённо. Так мы определим, где находится соответствующая ему точка на числовой прямой.

1. √2 ≈ 1,41, поэтому √2 больше 1,4.
2. При этом 1,41 меньше 1,5, значит, √2 меньше 1,5.
3. Записываем числа от меньшего к большему: 1,4, √2, 1,5.

Ответ: 1,4 < √2 < 1,5. Приближение 1,41 помогает сравнить числа, но не заменяет точное значение √2.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любую бесконечную десятичную дробь иррациональной. Так можно решить, увидев, что запись не заканчивается, но у периодической дроби цифры повторяются, а сама она рациональна. Например, 0,(6) = 2/3. Проверь, есть ли у записи период, прежде чем делать вывод.

Ошибка: считать √9 иррациональным только потому, что число записано под знаком корня. Знак корня сам по себе не говорит, рационален ли результат: √9 = 3, а 3 можно записать как 3/1. Сначала вычисли корень, если это возможно, и только потом определяй вид числа.

Ошибка: принимать приближённое значение за само иррациональное число. Число 1,41 — конечная рациональная дробь, а √2 продолжает записываться бесконечно и непериодически. Знак ≈ означает «примерно равно». Для проверки не заменяй точное число его приближением.

Ошибка: думать, что между соседними целыми числами других действительных чисел нет. Например, между 1 и 2 лежат 1,5 и √2, причём первое рационально, а второе иррационально. Расположи эти числа на прямой или сравни их значения. Так видно, что промежуток между целыми не пустует.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать целые числа, обыкновенные и десятичные дроби, а также устройство числовой прямой. Эти знания помогают записывать рациональные числа дробями, понимать десятичные записи и сравнивать числа по точкам. Если трудно определить, рационально ли число, полезно начать с уже знакомых способов записи дробей.

Рациональные и иррациональные числа пригодятся при изучении квадратных корней: результат извлечения корня не всегда является целым числом или дробью. Они также нужны для приближённых вычислений, когда точное значение заменяют удобным десятичным числом. Позже эти понятия помогут работать с уравнениями и понимать, какие значения могут быть их решениями.

Что запомнить

• Рациональное число можно записать в виде дроби m/n, где m и n — целые числа и n не равно нулю.
• Конечная или периодическая десятичная дробь является рациональным числом.
• Бесконечная непериодическая десятичная дробь задаёт иррациональное число.
• Действительные числа состоят из рациональных и иррациональных чисел.
• Каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой.
• На числовой прямой больше то число, которое расположено правее.