"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Повторение пройденного помогает связать основные математические навыки: работу с натуральными числами, обыкновенными и десятичными дробями, процентами и уравнениями. Эти знания нужны, чтобы правильно вычислять выражения, находить неизвестные величины и решать практические задачи. Главное — соблюдать порядок действий, понимать смысл дробей и процентов, а результат проверять прикидкой или обратным действием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральные числа — это числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. Они являются положительными целыми числами и занимают особое место среди изученных чисел. С их помощью записывают количество предметов, порядок и результаты простых вычислений.
Обыкновенная дробь записывается так: a/b, где a — числитель, а b — знаменатель. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель — сколько таких частей взяли. Правильная дробь меньше единицы, а неправильная больше или равна единице.
Десятичная дробь имеет целую и дробную части, разделённые запятой. Цифры после запятой показывают десятые, сотые, тысячные и следующие доли единицы. Такая запись удобна для измерений, сравнения чисел и вычислений с одинаковыми разрядами.
Процент — это одна сотая доля величины: 1% = 1/100. Чтобы найти несколько процентов, величину умножают на число процентов и делят на 100, а чтобы найти, сколько процентов составляет часть, часть делят на целое и умножают на 100%. Проценты помогают описывать скидки, рост цен, результаты опросов и доли величин.
Порядок действий нужен, чтобы одно выражение имело единственный понятный результат. Сначала выполняют действия в скобках, затем степени, после этого умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняют слева направо, потому что, например, 12 : 3 · 2 и 12 : (3 · 2) дают разные ответы.
При сложении и вычитании обыкновенных дробей сначала нужен общий знаменатель. Только тогда доли становятся одинаковыми по размеру, и можно сравнивать, сколько таких долей взято. После приведения дробей складывают или вычитают числители, а знаменатель сохраняют.
Обыкновенную дробь переводят в десятичную делением числителя на знаменатель. Если деление заканчивается, получается конечная десятичная дробь: 3/4 = 0,75. Обратно десятичную дробь переводят в обыкновенную, записывая цифры без запятой в числителе, а в знаменателе — 1 с нужным числом нулей: 0,36 = 36/100 = 9/25.
Неизвестный компонент действия находят обратным действием, потому что оно отменяет выполненное действие. В равенстве 3,6 + x = 8,25 неизвестное слагаемое равно разности 8,25 − 3,6. При решении уравнения нужно не только получить значение неизвестного, но и подставить его обратно для проверки.
Оценка результата до вычисления помогает заметить грубую ошибку. Если 19,8 умножают на 3, ответ должен быть близок к 60, а не к 6 или 600. После вычисления результат проверяют обратным действием, прикидкой, знаком числа и соответствием условию задачи.
В таблице собраны приёмы для двух форм записи чисел. При вычислении сначала определите вид чисел и порядок действий, а затем выберите подходящее правило. В последнем столбце указано, что поможет быстро обнаружить ошибку.
| Действие или приём | Обыкновенные дроби | Десятичные дроби | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Сложение | Привести к общему знаменателю и сложить числители. | Выровнять запятые и сложить по разрядам. | Знак, разряды и величину ответа. |
| Вычитание | Привести к общему знаменателю и вычесть числители. | Выровнять запятые и вычесть по разрядам. | Что уменьшаемое не меньше вычитаемого, если ответ положительный. |
| Умножение | Перемножить числители и знаменатели, затем сократить. | Перемножить как целые числа и отделить запятой нужное число знаков. | Примерный порядок результата и число знаков. |
| Деление | Умножить на дробь, обратную делителю. | При необходимости перенести запятую одинаково в делимом и делителе. | Делитель не равен нулю и результат даёт исходное число при умножении. |
| Порядок действий | Скобки, степени, умножение и деление, сложение и вычитание. | Тот же порядок, независимо от запятой. | Не выполнены ли действия просто слева направо. |
| Перевод одной формы записи в другую | Разделить числитель на знаменатель. | Записать дробную часть по разрядам и сократить полученную дробь. | Совпадают ли значения после перевода. |
Например, для дробей с разными знаменателями нельзя сразу складывать числители: сначала найдите общий знаменатель. Для десятичных дробей удобно дописывать нули справа, потому что это не меняет число: 2,5 = 2,50.
Задача 1. Вычислите выражение (1/2 + 0,25) · 4 − 0,5 и запишите ответ в удобной форме. Здесь встречаются обыкновенная и десятичная дроби, поэтому сначала приведём их к одному виду. Оценка заранее подсказывает, что ответ будет около 2,5.
Ответ: 2,5. Он разумен: выражение в скобках меньше единицы, после умножения получилось около 3, а вычитание половины уменьшило результат.
Задача 2. Решите уравнение 5/6 − x = 1/3. Неизвестное является вычитаемым, поэтому его найдём вычитанием разности из уменьшаемого. Для вычисления сначала приведём дроби к знаменателю 6.
Ответ: x = 1/2. Проверка подтверждает, что найденное число подходит.
Задача 3. Цена товара была 800 рублей, затем увеличилась на 10%, а потом уменьшилась на 10%. Определим, вернулась ли исходная цена. Проценты на втором шаге считаются уже от новой цены.
Ответ: цена не восстановилась: она стала 792 рубля, то есть уменьшилась на 8 рублей. Причина в том, что 10% от 880 больше, чем 10% от 800.
Ученики иногда складывают числители и знаменатели дробей по отдельности: 1/3 + 1/3 считают равным 2/6. Так происходит из-за переноса правила сложения натуральных чисел, но размер доли при этом меняется. Проверьте себя на примере: 1/3 + 1/3 должно быть 2/3, а не 1/3.
При действиях с десятичными дробями теряют нули или не выравнивают запятые. Нули справа после запятой можно дописывать, поэтому 4,7 следует записать как 4,70, если второе число имеет сотые. После вычисления прочитайте разряды и сравните ответ с примерной оценкой.
Длинное выражение иногда считают строго слева направо, не учитывая скобки и приоритет умножения. Из-за этого меняется смысл выражения, например 2 + 3 · 4 нельзя считать как (2 + 3) · 4. Отметьте скобки и мысленно выделите сначала действия высшего приоритета.
Увеличение на 10% и последующее уменьшение на 10% ошибочно считают взаимно уничтожающимися действиями. Основание процента изменилось: вторые 10% берутся от большей величины. Выполните вычисление через множители 1,1 и 0,9 или сравните оба изменения в рублях.
Перед повторением полезно освежить разрядный состав чисел, таблицу умножения, свойства сложения и умножения. Также понадобятся правила сокращения, сравнения и выполнения действий с дробями. Эти основы позволяют считать быстрее и не путать записи чисел.
Проценты и уравнения пригодятся при изучении отношений, пропорций и масштабов. С их помощью решают задачи о скидках, расстояниях, картах и неизвестных величинах. Умение переводить дроби делает такие задачи понятнее.
Преобразование выражений и проверка ответа будут нужны при изучении отрицательных чисел, координат и алгебраических выражений. Порядок действий сохраняется, даже если в записи появляются новые числа и буквы. Навык прикидки помогает контролировать решение на каждом этапе.
Почему дроби нельзя складывать, складывая одновременно числители и знаменатели?
Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое, поэтому у дробей должны быть одинаковые доли. Сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем складывают или вычитают только числители.
Как понять, какое действие выполнять первым в длинном выражении?
Сначала выполняют действия в скобках, затем степени, после этого умножение и деление, а последними — сложение и вычитание. Действия одного приоритета выполняют слева направо.
Когда удобнее переводить обыкновенную дробь в десятичную?
Перевод удобен, если знаменатель после сокращения состоит только из множителей 2 и 5: например, 3/4 = 0,75. Десятичная запись часто упрощает сравнение и вычисления.
Как быстро проверить, что ответ в задаче реалистичен?
Округлите исходные числа и примерно оцените результат. Также проверьте знак, единицы измерения и выполните обратное действие, если это возможно.
Почему после увеличения и уменьшения на один и тот же процент исходное число может не восстановиться?
Процент при втором действии считают уже от изменённой величины, а не от первоначальной. Поэтому увеличение на 10%, а затем уменьшение на 10% означает умножение на 1,1 и на 0,9, то есть на 0,99.
З Занятие 1. Повторение пройденного
