З Занятие 2. Корень степени

Определения и обозначения

Корень n-й степени из числа a — число, которое при возведении в степень n даёт a. Например, корень третьей степени из 8 равен 2, потому что 2³ = 8. Это понятие помогает выполнить действие, обратное возведению в степень: по результату степени найти исходное число.

Показатель корня — натуральное число n, большее единицы, которое показывает, в какую степень нужно возвести значение корня. В записи ⁿ√a оно стоит у знака корня. Показатель нужен, чтобы не перепутать, например, квадратный корень и корень третьей степени.

Подкоренное выражение — число или выражение a, из которого извлекают корень. Оно записывается под знаком корня: в записи ⁿ√a подкоренное выражение — a. Зная его, можно определить, существует ли корень в действительных числах с учётом показателя и знака этого выражения.

Арифметический корень чётной степени из неотрицательного числа — неотрицательное значение, которое при возведении в указанную степень даёт подкоренное число. Например, ⁴√81 = 3, а не −3. Это определение помогает отличать значение знака корня от всех решений уравнения xⁿ = a.

Как это устроено

Возведение в степень умножает число само на себя несколько раз, а извлечение корня помогает восстановить число по результату. Если требуется найти корень n-й степени из a, нужно подобрать b так, чтобы bⁿ = a. Например, для корня третьей степени из 8 ищем число, куб которого равен 8, и находим 2. Значит, проверка через возведение в степень сразу показывает, подходит ли найденное значение.

При нечётном показателе знак числа при возведении в степень сохраняется: отрицательное число даёт отрицательный результат, а положительное — положительный. Поэтому можно получить любое действительное число, в том числе отрицательное, и для каждого результата находится только одно исходное число. Например, куб числа −2 равен −8, а куб положительного числа не может быть −8. Отсюда следует, что корень нечётной степени существует для любого действительного подкоренного числа и единственен.

При чётном показателе произведение одинаковых множителей не может быть отрицательным: чётное количество минусов даёт плюс. Поэтому у отрицательного числа нет действительного корня чётной степени. Если подкоренное число положительно, есть два числа с нужной степенью: положительное и противоположное ему, поскольку знаки при чётной степени исчезают. Например, 3⁴ = 81 и (−3)⁴ = 81.

Знак корня чётной степени по договорённости обозначает неотрицательное значение — арифметический корень. Он не перечисляет все решения уравнения. Так, ⁴√81 = 3, а уравнение x⁴ = 81 имеет два решения: x = 3 и x = −3. Если записать под знаком корня число 0, значение тоже равно 0: противоположное нулю число не отличается от него.

Чтобы проверить результат, возведи его в степень, равную показателю корня, и сравни ответ с подкоренным числом. При подборе полезно вспоминать знакомые степени: 2³ = 8, 3³ = 27, 3⁴ = 81. Например, если получено ∛(−27) = −3, проверка даёт (−3)³ = −27. Такая проверка выявляет и неверное значение, и ошибку со знаком.

Корни n-й степени в зависимости от показателя и подкоренного числа

Сначала определи, чётный показатель или нечётный, затем посмотри на знак подкоренного числа. Важно различать количество решений уравнения и значение записи корня: при чётном показателе знак корня выбирает неотрицательное значение. Если в таблице указано два решения, это числа, противоположные друг другу.

Разбор задач

Найти корни третьей степени из 8, −27 и 0

Нужно найти числа, кубы которых равны указанным значениям. Показатель 3 нечётный, поэтому корень существует и для отрицательного числа. Проверим подходящие небольшие числа, помня, что знак отрицательного числа при возведении в куб сохраняется.

1. Ищем число, куб которого равен 8. Так как 2³ = 2 · 2 · 2 = 8, ∛8 = 2.
2. Для −27 подходит −3: (−3)³ = (−3) · (−3) · (−3) = −27. Значит, ∛(−27) = −3.
3. Куб нуля равен нулю: 0³ = 0. Поэтому ∛0 = 0.

Ответ: ∛8 = 2, ∛(−27) = −3, ∛0 = 0. В каждом случае возвели ответ в третью степень и получили подкоренное число. Такой способ проверки удобен и для положительных, и для отрицательных значений.

Найти арифметический корень четвёртой степени из 81 и решить уравнение x⁴ = 81

Сначала отличим два задания. В первом требуется значение арифметического корня, которое по определению неотрицательно. Во втором требуется найти все числа, четвёртая степень которых равна 81, поэтому нужно проверить и положительное, и отрицательное значение.

1. Вспоминаем, что 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81. Поэтому арифметический корень ⁴√81 равен 3.
2. Проверяем противоположное число: (−3)⁴ = 81, поскольку минусы при умножении попарно дают плюс.
3. Числа 3 и −3 подходят, а другие действительные числа четвёртой степени 81 не дают.

Ответ: ⁴√81 = 3; уравнение x⁴ = 81 имеет решения x = 3 и x = −3. Знак корня не записывают как ±3, потому что он обозначает только арифметический корень. Знак ± уместен, когда перечисляют решения уравнения.

Определить, имеет ли уравнение x⁶ = −64 действительные корни

Здесь показатель 6 чётный, а правая часть уравнения отрицательная. Проверять подбором положительных или отрицательных чисел не требуется: свойство чётной степени сразу показывает, может ли равенство выполниться. Надо сравнить возможные знаки обеих частей.

1. Если x — действительное число, то x⁶ является произведением шести одинаковых множителей.
2. При x ≠ 0 отрицательные множители, если они есть, составляют чётное количество, поэтому произведение положительно. При x = 0 результат равен нулю.
3. Значит, x⁶ всегда неотрицательно и не может равняться −64.

Ответ: действительных корней нет. Проверка основана не на конкретном подборе числа, а на знаке степени. По той же причине уравнение xⁿ = a с чётным n и отрицательным a не имеет решений в действительных числах.

Типичные ошибки

• Пишут ⁿ√a = ±b во всех случаях. Знак ± относится к двум решениям уравнения при чётном показателе и положительном a, а корень обозначает одно неотрицательное значение. Ошибка возникает из-за смешения двух разных записей. Проверь себя: найди значение корня и отдельно перечисли решения уравнения.
• Считают, что корень чётной степени из отрицательного числа отрицателен. Так путают извлечение корня с изменением знака, хотя чётная степень любого действительного числа неотрицательна. Перед ответом проверь, может ли возведение в указанную степень дать отрицательный результат.
• Забывают показатель корня. Тогда корень нечётной степени могут принять за квадратный корень и проверить не той степенью. Ошибку допускают, если смотрят только на подкоренное число. Перепиши показатель и возведи ответ именно в эту степень.
• Называют корнем число, которое не даёт подкоренное выражение. Часто это происходит, когда результат не проверяют. Возведи предполагаемый корень в нужную степень: если не получилось исходное число, ответ неверен.

Связь с другими темами

Для работы с корнями нужно уметь возводить числа в натуральную степень и помнить, что степень показывает повторное умножение числа на себя. Корни помогают решать уравнения вида xⁿ = a и проверять найденные значения обратным действием. Дальше это понятие понадобится при изучении иррациональных чисел, действий с корнями и степенных выражений. Понимание показателя и знака подкоренного числа поможет не смешивать разные случаи.

Что запомнить

• Корень n-й степени из a — число, n-я степень которого равна a.
• При нечётном показателе корень существует для любого действительного подкоренного числа.
• При чётном показателе корень из отрицательного числа в действительных числах не существует.
• При чётном показателе из положительного числа уравнение имеет два противоположных корня, но арифметический корень только один и он неотрицателен.
• Арифметический корень из нуля равен нулю.
• Результат проверяют возведением в степень, равную показателю корня.