З Занятие 3. Степени

Определения и обозначения

Степень числа — это запись произведения нескольких одинаковых множителей. Например, 4 · 4 · 4 можно записать короче: 4³. Такое обозначение нужно, чтобы не переписывать длинное произведение и сразу видеть его устройство.

Основание степени — число, которое берут множителем несколько раз. В записи 7⁴ основанием является 7, потому что именно семёрки перемножаются. По основанию можно понять, какой множитель нужно повторять.

Показатель степени — число, показывающее, сколько одинаковых множителей перемножают. В записи 7⁴ показателем является 4: произведение состоит из четырёх семёрок. Этот маленький верхний индекс помогает восстановить исходное произведение.

Квадрат и куб числа — особые названия второй и третьей степени. Запись a² называют квадратом числа a, а запись a³ — кубом числа a. Эти названия связаны с площадью квадрата и объёмом куба, поэтому встречаются не только в вычислениях, но и в задачах о фигурах.

Как это устроено

Когда один и тот же множитель повторяется, обычная запись становится длинной и неудобной. Поэтому вместо 4 · 4 · 4 используют 4³: число 4 записывают один раз, а количество повторений отмечают сверху. Так степень одновременно показывает и сам множитель, и число его повторений.

Основание и показатель отвечают на разные вопросы. Основание отвечает на вопрос «что повторяется?», а показатель — «сколько раз повторяется?». Например, в 5² основание 5 говорит о двух пятёрках, а показатель 2 сообщает, что множителей именно два.

Степень читают так: 3² — «три во второй степени» или «квадрат трёх», а 2⁵ — «два в пятой степени». Чтобы развернуть запись, нужно заменить верхнее число количеством одинаковых оснований: 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2. Обратное действие тоже возможно: если в произведении одинаковых множителей посчитать их число, получится показатель степени.

Вторая степень называется квадратом, потому что площадь квадрата со стороной a находится умножением a · a и записывается как a². Третья степень называется кубом, поскольку объём куба с ребром a равен a · a · a = a³. Эти названия помогают связывать арифметическую запись с геометрическим смыслом.

Чтобы найти значение степени, основание последовательно умножают само на себя. Например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3: сначала 3 · 3 = 9, затем 9 · 3 = 27, после этого 27 · 3 = 81. Показатель определяет количество множителей, а результат такого умножения является значением степени.

Запись степени и её значение

Таблицу удобно читать слева направо: сначала найдите основание и показатель, затем раскройте степень в произведение. После этого выполните умножение и запишите значение. Для проверки можно снова пересчитать количество одинаковых множителей.

Обратите внимание на положение показателя: он записывается небольшим числом справа сверху от основания. Если показатель равен 2 или 3, можно использовать названия «квадрат» или «куб».

Разбор задач

Задача 1

Запишем произведение 5 · 5 · 5 в виде степени и назовём её части. В произведении повторяется один и тот же множитель — число 5. Таких множителей три, поэтому именно 3 станет показателем.

1. Определяем повторяющийся множитель: это 5.
2. Считаем одинаковые множители: их три.
3. Записываем степень: 5 · 5 · 5 = 5³.
4. Называем части записи: основание 5, показатель 3.

Ответ: 5³; основание — 5, показатель — 3.

Задача 2

Нужно раскрыть запись 2⁵ и найти её значение. Основание 2 должно встретиться в произведении пять раз, потому что показатель равен 5. Затем умножим получившиеся множители последовательно.

1. Раскрываем степень: 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2.
2. Перемножаем первые два множителя: 2 · 2 = 4.
3. Продолжаем умножение: 4 · 2 = 8, 8 · 2 = 16, 16 · 2 = 32.
4. Записываем результат вычисления.

Ответ: 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.

Задача 3

Сравним 3² + 2³ и (3 + 2)². В первом выражении степени относятся к отдельным числам, а во втором вся сумма является одним основанием. Поэтому сначала раскроем каждую запись по её смыслу, не смешивая два разных действия.

1. Вычисляем отдельные степени: 3² = 3 · 3 = 9, 2³ = 2 · 2 · 2 = 8.
2. Складываем результаты: 3² + 2³ = 9 + 8 = 17.
3. Сначала находим сумму в скобках: 3 + 2 = 5.
4. Возводим полученное число в квадрат: (3 + 2)² = 5² = 25.
5. Сравниваем: 17 меньше 25.

Ответ: 3² + 2³ = 17, (3 + 2)² = 25; первое значение меньше второго.

Типичные ошибки

Путают основание и показатель, потому что оба числа входят в запись степени. Ошибку можно заметить, если спросить себя: «Что повторяется?» — это основание, а «Сколько раз?» — показатель. Полезно проговаривать эти ответы перед вычислением.

Вычисляют 3⁴ как 3 · 4, принимая показатель за множитель. Так делать нельзя: показатель не является вторым числом для обычного умножения. Проверка проста: раскрытие степени даёт 3 · 3 · 3 · 3, а не 3 · 4.

Считают, что 2³ равно 2 · 3. Причина ошибки в том, что верхнее число принимают за множитель, хотя оно только считает повторения. Нужно записать три двойки: 2³ = 2 · 2 · 2 = 8.

Заменяют (2 + 3)² выражением 2² + 3². Здесь степень относится ко всей сумме в скобках, поэтому сначала можно получить 2 + 3 = 5, а затем вычислить 5² = 25. Сравнение с 4 + 9 = 13 показывает, что такая замена неверна.

Связь с другими темами

Для работы со степенями нужно уверенно умножать натуральные числа и понимать, что множители произведения можно переставлять. Например, 2 · 3 · 2 можно сгруппировать как 2 · 2 · 3, не изменив результат. Это помогает без ошибок выполнять последовательное умножение одинаковых множителей.

Степени используют для компактной записи больших чисел, вычисления площадей и объёмов. Позже появятся правила действий со степенями, которые позволят быстрее преобразовывать выражения. Поэтому понимание основания и показателя станет основой для следующих тем.

Что запомнить

• Степень — краткая запись произведения одинаковых множителей.
• Основание показывает, какой множитель повторяется.
• Показатель показывает число одинаковых множителей.
• Вычисляя степень, умножают основание само на себя столько раз, сколько указывает показатель.
• Вторая степень называется квадратом, третья — кубом.
• Показатель степени не умножают на основание.