"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Логарифм отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести одно число, чтобы получить другое? Например, log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. В записи logₐ b число a называют основанием, а b — аргументом; основание должно быть положительным и не равняться 1, аргумент — быть положительным. Логарифмы помогают находить неизвестные показатели степени и упрощать вычисления с произведениями, частными и степенями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифм числа — показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить это число. Например, log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. Иными словами, логарифм помогает узнать не результат возведения в степень, а сам показатель. Это нужно, когда основание и результат известны, а показатель неизвестен.
Основание логарифма — число a в записи logₐ b, причём a > 0 и a ≠ 1. Основание записывают маленьким индексом возле слова log, поэтому его легко отличить от аргумента. Оно показывает, какое число возводят в степень. Ограничения нужны, чтобы логарифм был определён и свойства степеней работали как обычно.
Аргумент логарифма — число b, стоящее после основания, причём b > 0. Это число должно получиться после возведения основания в некоторую степень. Поэтому аргументом может быть, например, 7 или ½, но не ноль и не отрицательное число. Условие помогает заранее понять, можно ли вычислить записанный логарифм.
Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10, обозначаемый lg b. Например, lg 100 = 2, потому что 10² = 100. Основание здесь не пишут, но оно подразумевается: lg b = log₁₀ b. Такое сокращение удобно в вычислениях и при записи чисел десятичной системы.
Определение логарифма связано с равенством aˣ = b: запись logₐ b = x означает ровно то же самое. В показательной записи неизвестным может быть показатель x, а логарифм даёт ему имя и способ вычисления. Например, если 3⁴ = 81, то log₃ 81 = 4. Переход между двумя записями полезен, потому что иногда удобнее считать степенями, а иногда — работать с логарифмами.
Основание должно быть положительным, потому что степени отрицательного числа не всегда дают действительный результат для дробных показателей, а логарифмы рассматривают в обычных действительных числах. Кроме того, основание не может равняться 1: единица в любой степени остаётся единицей, поэтому по результату 1 невозможно определить показатель. Например, из 1ˣ = 1 нельзя узнать единственное значение x. Эти ограничения делают определение однозначным и согласованным со степенями.
Аргумент должен быть положительным, потому что положительное основание, возведённое в действительную степень, даёт положительное число. Значит, равенство aˣ = b невозможно, если b равно нулю или меньше нуля. Например, нельзя подобрать действительное x, чтобы 2ˣ стало равным −4. Поэтому перед вычислением или решением уравнения нужно проверить, что аргумент больше нуля.
Чтобы найти логарифм, представь аргумент как степень его основания и возьми показатель. Так, если нужно вычислить log₅ 125, замечаем, что 125 = 5³, значит ответ равен 3. Проверка обратным действием проста: возводим 5 в найденную степень и убеждаемся, что получаем 125. Если аргумент не удаётся представить знакомой степенью, точное значение может быть сложнее найти, но смысл определения остаётся тем же.
Правила логарифмов получаются из свойств степеней. Если b = aˣ и c = aʸ, то bc = aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ, поэтому logₐ(bc) = logₐ b + logₐ c. Для частного степени вычитаются: b/c = aˣ⁻ʸ, значит логарифм частного равен разности логарифмов. Для степени (bⁿ) показатель становится n·x, поэтому logₐ(bⁿ) = n logₐ b; во всех правилах основания одинаковы, а аргументы положительны.
В таблице собраны самые нужные записи. Сначала проверь основание и аргументы, затем выбери строку, подходящую к выражению. Формулы произведения, частного и степени помогают преобразовывать выражения, но не позволяют раскладывать логарифм суммы.
| Свойство или случай | Формула | Условия | Пример |
|---|---|---|---|
| Определение логарифма | logₐ b = x ⇔ aˣ = b | a > 0, a ≠ 1, b > 0 | log₂ 8 = 3, так как 2³ = 8 |
| Логарифм единицы | logₐ 1 = 0 | a > 0, a ≠ 1 | log₅ 1 = 0 |
| Логарифм основания | logₐ a = 1 | a > 0, a ≠ 1 | log₇ 7 = 1 |
| Логарифм произведения | logₐ(bc) = logₐ b + logₐ c | a > 0, a ≠ 1; b > 0, c > 0 | log₂(4 · 8) = 2 + 3 |
| Логарифм частного | logₐ(b/c) = logₐ b − logₐ c | a > 0, a ≠ 1; b > 0, c > 0 | log₃(81/9) = 4 − 2 |
| Логарифм степени | logₐ(bⁿ) = n logₐ b | a > 0, a ≠ 1, b > 0 | log₂(8²) = 2 · 3 |
| Переход от логарифмической записи к показательной | logₐ b = x ⇔ aˣ = b | a > 0, a ≠ 1, b > 0 | log₃ 81 = 4 ⇔ 3⁴ = 81 |
Задача 1. Найти log₂ 32 и выполнить проверку. Здесь основание равно 2, а аргумент — 32. Нужно понять, какой показатель у двойки даст 32, поэтому представим 32 как степень числа 2. После нахождения показателя проверим равенство по определению логарифма.
Ответ: 5. Такой способ подходит, когда аргумент можно точно представить степенью основания. Проверка обратным возведением показывает, что найден именно нужный показатель. Если основание и аргумент перепутать, проверочное равенство сразу обнаружит ошибку.
Задача 2. Вычислить log₃ 81 + log₃ 9 − log₃ 27. У всех логарифмов одинаковое основание, а каждое число является степенью тройки. Поэтому удобнее найти каждый логарифм отдельно, а затем выполнить сложение и вычитание. Перед вычислением можно мысленно проверить, что аргументы положительны.
Ответ: 3. Здесь не требуется превращать всё выражение в один логарифм: можно воспользоваться определением для каждого слагаемого. Такой ход особенно удобен, если степени основания легко узнаются. Для проверки убедись, что показатели действительно дают указанные числа.
Задача 3. Решить уравнение log₂(x − 1) = 3. Неизвестное находится внутри аргумента, поэтому сперва выясним, при каких x логарифм вообще существует. Затем заменим логарифмическую запись равносильным равенством степеней. В конце проверим, что найденное значение удовлетворяет исходному ограничению.
Ответ: x = 9. Проверка в исходном уравнении даёт log₂(9 − 1) = log₂ 8 = 3. Если найденное значение не проходит условие x > 1, его нельзя оставлять ответом. Поэтому область допустимых значений записывают до преобразований, а не после них.
Путают основание и аргумент, потому что оба числа находятся в одной записи. Например, в log₂ 8 основание — 2, а аргумент — 8: маленькое число у log задаёт основание, число после него является тем, что нужно получить. Проверяй запись через равенство 2ˣ = 8. Если роли чисел поменялись, это равенство покажет ошибку.
Считают логарифм нуля или отрицательного числа, забывая, что аргумент должен быть положительным. Такое иногда происходит, когда сначала выполняют вычисления внутри скобок и не проверяют результат. Перед вычислением убедись, что аргумент больше нуля; в уравнении отдельно запиши соответствующее неравенство. Если оно не выполняется, выражение не имеет значения в действительных числах.
Записывают logₐ(b + c) = logₐ b + logₐ c, перенося правило произведения на сумму. Но свойства степеней объясняют разложение произведения, а не сложения, поэтому эта формула неверна. Для самопроверки подставь простые числа: log₂(2 + 2) = log₂ 4 = 2, а log₂ 2 + log₂ 2 = 1 + 1 = 2 — этот случай совпал случайно. Возьми другие числа, например 1 и 2: значения уже различаются.
Не проверяют ограничения при решении логарифмического уравнения и могут оставить постороннее значение. Причина в том, что после преобразований сосредотачиваются только на решении получившегося уравнения. Сначала запиши условие: каждый аргумент логарифма больше нуля, а затем подставь найденные корни в эти неравенства. В окончательный ответ включай только допустимые значения.
Для работы с логарифмами нужны степени, их свойства и умение переходить от показательной записи к обычной: например, 2³ = 8. Логарифмы позволяют решать показательные уравнения и неравенства, где неизвестен показатель, и помогают изучать графики показательных и логарифмических функций. Десятичный логарифм связан с десятичной системой счисления и применяется при вычислениях больших и малых величин. Поэтому логарифм можно понимать как обратный вопрос к возведению в степень.
Чем логарифм отличается от степени?
Степень показывает результат умножения основания на себя несколько раз: например, 2³ = 8. Логарифм отвечает на обратный вопрос: какой показатель даст этот результат? Поэтому log₂ 8 = 3.
Почему нельзя брать логарифм нуля или отрицательного числа?
При положительном основании степень всегда даёт положительное число, каким бы ни был показатель. Поэтому получить ноль или отрицательное число возведением основания в степень нельзя, и логарифм таких чисел в обычных действительных числах не определён.
Как быстро найти логарифм, если число представляется степенью основания?
Представь аргумент как степень основания. Показатель этой степени и будет логарифмом: например, 16 = 2⁴, значит log₂ 16 = 4. Для проверки возведи основание в найденную степень.
Можно ли складывать логарифмы с разными основаниями?
Нельзя просто складывать их по правилу логарифма произведения: это правило работает, когда основания одинаковы. Например, log₂ 8 + log₃ 9 можно вычислить отдельно как 3 + 2, но объединить в один логарифм этим правилом нельзя.
Зачем нужны логарифмы, если есть степени?
Логарифмы позволяют находить неизвестный показатель, когда основание и результат известны. Они также помогают превращать произведения в суммы и упрощать вычисления. Такие способы используют в уравнениях и при работе с очень большими или очень малыми величинами.
З Занятие 4. Логарифмы
