З Занятие 5. Показательные и логарифмические функции

Определения и обозначения

Показательная функция — это функция вида y = aˣ, где a > 0 и a ≠ 1. Буква a обозначает основание, а x — показатель степени: именно x определяет, сколько раз основание участвует в возведении в степень. Такая запись нужна, чтобы описывать зависимость, в которой переменная находится в показателе.

Основание показательной функции — число a в выражении aˣ. От него зависит, будет ли график подниматься или опускаться при движении вправо, а также насколько быстро меняются значения. Сравнивая основания, можно понять форму и направление графика.

Логарифмическая функция имеет вид y = logₐ x, где a > 0 и a ≠ 1. Она обратна показательной функции y = aˣ: логарифм позволяет по результату степени найти показатель. Эта запись полезна, когда неизвестное число стоит именно в показателе.

Логарифм числа — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число: logₐ b = c означает aᶜ = b. Здесь a — основание, b — число под знаком логарифма, а c — ответ. Например, log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8.

Как это устроено

При увеличении x меняется число множителей a в степени aˣ. Если a > 1, каждый следующий шаг умножает значение на число больше единицы, поэтому результат растёт. Если 0 < a < 1, каждый шаг умножает результат на дробь меньше единицы, поэтому значение уменьшается.

В выражении aˣ основание положительно, и его действительная степень тоже положительна. Поэтому график показательной функции не опускается ниже оси x и не касается её. При этом показатель x можно выбрать любым действительным числом, значит, область определения — все действительные числа.

Чтобы получить обратную функцию, в равенстве y = aˣ меняют местами x и y: выходит x = aʸ, или y = logₐ x. Например, точке (3, 8) на графике y = 2ˣ соответствует точка (8, 3) на графике y = log₂ x. При перестановке координат точки отражаются относительно прямой y = x, поэтому так же симметричны и графики.

Логарифм отвечает на вопрос, какой показатель даёт заданное число при выбранном основании. Аргумент x должен быть положительным, потому что положительное основание в любой действительной степени даёт только положительное значение. Основание тоже должно быть положительным и не равным 1: при отрицательном основании не всякая действительная степень имеет смысл, а при основании 1 результат всегда равен 1.

Запись logₐ b = c можно заменить равенством aᶜ = b, а из равенства aᶜ = b — вернуться к логарифму. Например, 3² = 9 означает log₃ 9 = 2. Проверка обратным переходом помогает убедиться, что основание, аргумент и показатель не перепутаны.

Сравнение показательной и логарифмической функций

Сначала проверьте основание, затем сравните область определения и множество значений. Чтобы определить направление изменения, достаточно узнать, больше основание единицы или меньше. Точки пересечения и асимптоты помогают сверить, правильно ли вы представляете график.

Разбор задач

1. Значения показательной и логарифмической записи

Условие. Вычислить y = 2ˣ при x = 3 и найти log₂ 8. Здесь обе части связаны одним и тем же фактом о степени двойки. Поэтому можно вычислить первую величину и проверить её через определение логарифма.

1. Подставим x = 3: y = 2³.
2. Вычислим степень: 2 · 2 · 2 = 8, значит, y = 8.
3. Для log₂ 8 спросим, в какую степень возвести 2, чтобы получить 8. Так как 2³ = 8, то log₂ 8 = 3.

Ответ: y = 8; log₂ 8 = 3. Результат логарифма совпал с показателем, который использовали в первой задаче.

2. Область определения и значение функции

Условие. Найти область определения y = log₃(2x − 1) и значение функции при x = 2. Сначала нужно проверить, при каких x выражение под знаком логарифма допустимо. Затем можно подставить заданное значение и применить определение логарифма.

1. Аргумент должен быть положительным: 2x − 1 > 0.
2. Прибавим 1 и разделим обе части на 2: 2x > 1, значит, x > ½. Это область определения.
3. Подставим x = 2: 2 · 2 − 1 = 3, поэтому y = log₃ 3.
4. Поскольку 3¹ = 3, получаем log₃ 3 = 1.

Ответ: область определения — x > ½; при x = 2 значение функции равно 1.

3. Показательное уравнение

Условие. Решить уравнение 2ˣ⁺¹ = 16 и проверить ответ с помощью логарифмической записи. Чтобы найти показатель, удобно представить правую часть как степень с основанием 2. После этого можно приравнять показатели, поскольку основания одинаковы.

1. Запишем 16 = 2⁴. Тогда 2ˣ⁺¹ = 2⁴.
2. При одинаковых основаниях степени равны, если равны их показатели: x + 1 = 4.
3. Вычтем 1: x = 3. Проверка: 2³⁺¹ = 2⁴ = 16.
4. Логарифмическая запись равенства 2ˣ⁺¹ = 16: x + 1 = log₂ 16. Так как 2⁴ = 16, log₂ 16 = 4, значит, снова x = 3.

Ответ: x = 3. Проверка логарифмом приводит к тому же уравнению для показателя.

Типичные ошибки

Логарифм от нуля или отрицательного числа. Такие записи не имеют значения в действительных числах, но аргумент иногда забывают проверить. Причина — привычка считать, что под знаком можно оставить любое выражение. Перед вычислениями установите условие: аргумент должен быть больше нуля.

Недопустимое основание. Основание логарифма не может быть отрицательным или равным 1. Иногда его считают просто любым числом, хотя при a = 1 степень всегда равна 1, а при отрицательном основании возникают ограничения. Проверьте два условия: a > 0 и a ≠ 1.

Путаница между логарифмом и делением. logₐ b — не произведение a и b и не дробь b/a. Ошибка возникает, если не вспомнить, что логарифм ищет показатель степени. Для проверки замените запись logₐ b = c равенством aᶜ = b.

Неверное направление изменения. При 0 < a < 1 обе функции убывают, а не возрастают. Можно ошибиться, запомнив только случай a > 1. Подставьте несколько значений x и сравните ответы: у убывающей функции они уменьшаются при увеличении x.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны навыки работы со степенями и их свойствами: без них трудно переводить логарифм в показательную запись. Координатная плоскость и умение читать графики помогают увидеть точки, направление изменения и симметрию. Эти знания пригодятся при решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Показательные и логарифмические зависимости встречаются при описании роста и затухания, сложных процентов и шкал измерений. Например, по показательной модели можно оценивать, как меняется величина при повторяющемся увеличении. Логарифм помогает определить, сколько таких шагов понадобилось.

Что запомнить

• Показательная функция имеет вид y = aˣ, где a > 0 и a ≠ 1.
• Область определения показательной функции — все действительные числа, а значения всегда положительны.
• Логарифм logₐ b — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.
• Для логарифма необходимы условия a > 0, a ≠ 1 и b > 0.
• Функции y = aˣ и y = logₐ x являются взаимно обратными.
• При a > 1 обе функции возрастают, а при 0 < a < 1 обе убывают.
• Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x.