З Занятие 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

Определения и обозначения

Показательное уравнение — уравнение, в котором неизвестное находится в показателе степени: 3ˣ = 27. Основание степени — число 3, стоящее у основания, а x — показатель. Если удаётся сделать основания одинаковыми, уравнение обычно сводится к сравнению показателей.

Логарифмическое уравнение — уравнение, где неизвестное находится в аргументе или основании логарифма, например log₂(x − 1) = 3. Аргументом называют выражение после основания и знака логарифма. Он обязан быть положительным, иначе логарифм не имеет смысла.

Показательное неравенство — неравенство, содержащее степени с неизвестным в показателе: 5ˣ > 25. При решении сравнивают степени с одинаковым основанием или используют свойства возрастания и убывания степенной зависимости. Направление сравнения связано с тем, больше основание 1 или меньше 1.

Логарифмическое неравенство — неравенство, в котором есть логарифм, например log₃(x + 2) ≤ 1. При его решении учитывают допустимые значения переменной и основание логарифма. Основание должно быть положительным и не равняться 1, а аргумент — строго больше нуля.

Как это устроено

Если две степени имеют одно основание, например 2ˣ = 2³, то одинаковые числа получаются при одинаковых показателях. Поэтому можно записать x = 3. Такой переход работает для основания, которое больше нуля и не равно 1: при этих условиях разные показатели дают разные значения степени.

Логарифм с основанием a показывает, какую степень нужно подобрать, чтобы из a получить аргумент. Если основание больше 1, при увеличении аргумента логарифм увеличивается, поэтому порядок сохраняется: logₐ u > logₐ v тогда и только тогда, когда u > v. Если 0 < a < 1, увеличение аргумента уменьшает логарифм, поэтому знак сравнения меняется.

Логарифмическую запись удобно заменять показательной: logₐ b = c означает aᶜ = b. Например, из log₂(x − 1) = 3 получается 2³ = x − 1. После этого неизвестное находится обычными действиями, но результат всё равно нужно проверить по условию существования логарифма.

Область допустимых значений, или ОДЗ, — это все значения переменной, при которых исходное выражение имеет смысл. Для каждого логарифма записывают неравенство: его аргумент больше нуля. Сначала найти ОДЗ нужно потому, что преобразования могут временно допустить значения, запрещённые исходным уравнением или неравенством.

Проверка решения состоит в подстановке найденного значения в исходную запись, а не только в преобразованное выражение. Нужно убедиться, что аргументы логарифмов положительны и равенство или неравенство выполняется. Если хотя бы одно условие нарушено, значение является посторонним корнем и в ответ не входит.

Сравнение показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Сначала определите, где находится неизвестное, а затем выберите столбец с подходящим способом решения. Отдельно проверьте условия на основание и ограничения для переменной. В неравенствах всегда выясняйте, возрастает или убывает зависимость от аргумента.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение 2ˣ = 8.

Неизвестное находится в показателе, поэтому попробуем представить правую часть через такое же основание. Число 8 равно 2³, и после этого обе части будут степенями числа 2.

1. Заменим 8 равной ему степенью: 2ˣ = 2³.
2. Основания одинаковы, положительны и не равны 1, поэтому приравниваем показатели: x = 3.
3. Проверим: 2³ = 8, значит равенство верно.

Ответ: x = 3.

Задача 2. Решить уравнение log₂(x − 1) = 2.

Сначала найдём допустимые значения: аргумент x − 1 должен быть положительным. Затем заменим логарифмическую запись показательной, чтобы получить уравнение без логарифма.

1. ОДЗ: x − 1 > 0, значит x > 1.
2. Переходим к показательной форме: x − 1 = 2².
3. Получаем x − 1 = 4, откуда x = 5.
4. Проверяем ОДЗ: 5 > 1. Подстановка даёт log₂4 = 2, поэтому корень подходит.

Ответ: x = 5.

Задача 3. Решить неравенство log₁⁄₂(x − 1) ≥ −2.

Аргумент логарифма должен быть положительным, поэтому сначала ограничим переменную. Основание ½ находится между 0 и 1, значит при переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства изменится.

1. ОДЗ: x − 1 > 0, то есть x > 1.
2. Так как 0 < ½ < 1, получаем x − 1 ≤ (½)⁻².
3. Вычисляем степень: (½)⁻² = 4, поэтому x − 1 ≤ 4.
4. Соединяем с ОДЗ: 1 < x ≤ 5.

Ответ: x ∈ (1; 5].

Типичные ошибки

При решении логарифмического неравенства иногда не учитывают основание. Это происходит, когда запоминают только правило сравнения аргументов и забывают, что при 0 < a < 1 функция убывает. Проверьте себя: отдельно напишите, больше ли основание 1, и только потом выберите знак.

Другая ошибка — забыть ОДЗ и оставить значение с неположительным аргументом. Такое случается, если сразу выполнять преобразования и не записывать ограничения. Для самопроверки подставьте ответ в каждый аргумент логарифма и убедитесь, что он больше нуля.

Нельзя приравнивать показатели, если основания степеней различны. Например, из 2ˣ = 8³ нельзя сразу заключать x = 3. Сначала приведите обе части к одному основанию, а затем сравните показатели.

Посторонний корень в логарифмическом уравнении принимают за правильный, если не выполняют проверку. Причина в том, что после преобразований могли исчезнуть ограничения исходной записи. Подстановка в исходное уравнение и проверка ОДЗ сразу выявляют такой результат.

Связь с другими темами

Для показательных уравнений нужны свойства степеней и умение представить число как степень заданного основания. Логарифмические записи связаны с показательными: logₐ b = c равносильно aᶜ = b. ОДЗ опирается на умение находить допустимые значения выражений, а изученные приёмы пригодятся в более сложных уравнениях, неравенствах и при работе с показательными и логарифмическими функциями.

Что запомнить

• В показательном уравнении полезно привести обе части к одному основанию.
• Логарифм определён только при положительном аргументе.
• Основание логарифма должно быть положительным и не должно равняться 1.
• При основании логарифма больше 1 порядок аргументов сохраняется.
• При основании логарифма между 0 и 1 порядок аргументов меняется на противоположный.
• Найденные решения логарифмического уравнения нужно проверить с учётом области допустимых значений.