"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Степень помогает коротко записывать произведение одинаковых множителей, а логарифм показывает, какой показатель степени нужен для получения заданного числа. В записи степени различают основание и показатель: от них зависит результат. Логарифмирование обратно возведению в степень. В параграфе разобраны основные случаи вычисления степеней, правило умножения степеней с одинаковыми основаниями и связь равенств aˣ = b и logₐ b = x.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень — произведение одинаковых множителей, записанное с помощью основания и показателя степени. Например, 5³ означает 5 · 5 · 5. Такая запись нужна, чтобы не переписывать длинное произведение и быстрее выполнять вычисления.
Основание степени — число, которое возводят в степень, а показатель степени показывает число одинаковых множителей. В записи 7⁴ основание равно 7, показатель равен 4. Если изменить хотя бы одно из этих чисел, значение степени обычно изменится.
Логарифм — показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить заданное число. Запись logₐ b = x означает, что a нужно возвести в степень x и получить b. Логарифм помогает находить неизвестный показатель.
Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10, его обозначают lg. Например, lg 100 = 2, потому что 10² = 100. Это сокращённое обозначение часто используют для степеней десятки.
Запись aⁿ заменяет повторное умножение числа a на себя: aⁿ = a · a · … · a, где множителей n. Поэтому степень не является новым видом числа, а только удобным способом записать уже знакомое произведение. Например, 3⁴ означает четыре множителя 3, а не 3 · 4.
Значение степени зависит и от основания, и от показателя. Основание определяет, какое число повторяется, а показатель — сколько раз оно берётся множителем: 2³ и 3² дают разные результаты. Нулевая степень ненулевого числа равна 1, потому что при делении aⁿ на такую же степень показатель уменьшается до нуля: aⁿ : aⁿ = a⁰, а частное равно 1.
Небольшие степени удобно находить по таблице квадратов и кубов, а большие — разбивать на части. Например, показатель 8 можно представить как 4 + 4, поэтому 2⁸ = 2⁴ · 2⁴. Такой способ уменьшает количество последовательных умножений и помогает не ошибиться в вычислениях.
Вычисление логарифма сводится к поиску показателя в равенстве aˣ = b. Сначала нужно узнать, какую степень основания даёт заданное число, а затем записать найденный показатель. Так, log₂ 32 равен 5, потому что 2⁵ = 32.
Возведение в степень и логарифмирование являются обратными действиями. В первом случае по основанию и показателю находят результат, а во втором по основанию и результату находят показатель. Поэтому равенства logₐ b = c и aᶜ = b означают одно и то же, если логарифм имеет допустимые значения.
| Величина | Определение или равенство | Условия | Пример |
|---|---|---|---|
| Степень с натуральным показателем | aⁿ = a · a · … · a | n — натуральное число | 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 |
| Степень с показателем 0 | a⁰ = 1 | a ≠ 0 | 7⁰ = 1 |
| Степень с показателем 1 | a¹ = a | Любое число a | 9¹ = 9 |
| Логарифм числа | logₐ b = x тогда и только тогда, когда aˣ = b | a > 0, a ≠ 1, b > 0 | log₂ 8 = 3 |
| Десятичный логарифм | lg b = log₁₀ b | b > 0 | lg 1000 = 3 |
| Связь логарифма и степени | logₐ b = c ⇔ aᶜ = b | Основание и аргумент допустимы | log₃ 9 = 2 ⇔ 3² = 9 |
Сначала определите, что требуется найти: значение степени или показатель логарифма. Для степени раскройте запись в произведение либо воспользуйтесь известными квадратами, кубами и правилами. Для логарифма замените запись равенством со степенью и найдите неизвестный показатель.
Задача 1. Вычислить 3⁴ и 5². Нужно раскрыть смысл натурального показателя: каждое основание повторяется столько раз, сколько указано сверху.
Ответ: 3⁴ = 81, 5² = 25. Проверка проста: в каждой раскрытой записи должно быть столько одинаковых множителей, как показывает показатель.
Задача 2. Вычислить 2⁵ · 2³ и представить результат в виде одной степени. Основания одинаковые, поэтому объединяем все множители 2 в одну группу.
Ответ: 2⁵ · 2³ = 2⁸ = 256. Показатели сложились, потому что при умножении число одинаковых множителей увеличилось.
Задача 3. Найти log₂ 32, lg 1000 и log₃ 1/9. В каждом случае ищем показатель, превращающий основание в заданное число.
Ответ: log₂ 32 = 5, lg 1000 = 3, log₃ 1/9 = −2. Всегда проверяйте найденный показатель обратным возведением основания в степень.
Путают основание и показатель степени, воспринимая запись aⁿ как одно неделимое обозначение. Из-за этого считают, например, что в 4³ основание равно 3. Проверьте себя вопросами: какое число повторяется и сколько раз оно должно встретиться?
При умножении степеней с одинаковыми основаниями перемножают показатели вместо их сложения. Ошибка возникает из-за смешения разных правил действий со степенями. Раскройте обе степени в произведения: число одинаковых множителей покажет, что показатели нужно сложить.
Считают, что logₐ b равен b/a, хотя логарифм не является частным. Он обозначает показатель степени, поэтому запись нужно переводить в равенство aˣ = b. После решения подставьте найденный показатель и проверьте, получается ли число b.
Забывают проверить допустимость логарифма: основание должно быть положительным и не равняться 1, а аргумент — положительным. Такие условия нужны, чтобы выражение действительно имело смысл в рассматриваемых числах. Перед вычислением отдельно осмотрите основание и число под знаком логарифма.
До этой темы нужны таблица умножения, свойства действий с натуральными числами и понимание произведения одинаковых множителей. Эти знания позволяют раскрывать степени и выполнять вычисления без заучивания каждого результата.
Логарифмы связаны с уравнениями, потому что помогают находить неизвестный показатель в равенствах вроде 2ˣ = 16. Вместо подбора можно записать x = log₂ 16 и затем вычислить логарифм.
Дальше знания пригодятся при изучении показательных и логарифмических выражений, функций и уравнений. Правильное различение основания, показателя и аргумента станет основой для более сложных преобразований.
Чем степень отличается от обычного произведения?
Степень — это тоже произведение, но в ней одинаковые множители записаны сокращённо. Например, 4 · 4 · 4 можно записать как 4³.
Почему любое ненулевое число в нулевой степени равно 1?
При делении степеней с одинаковым основанием показатель уменьшается на единицу. Поэтому a¹ : a¹ = a⁰, а левая часть равна 1, если a ≠ 0.
Как быстро вычислить степень с большим показателем?
Показатель можно разложить на удобные слагаемые и использовать умножение степеней. Например, 2⁸ = 2⁴ · 2⁴, поэтому достаточно найти 2⁴ и умножить его на себя.
Как понять, что означает запись log_a b?
Нужно найти число x, для которого aˣ = b. Иными словами, logₐ b — это показатель степени, в которую возводят a, чтобы получить b.
Почему нельзя взять логарифм отрицательного числа?
В школьной математике основание логарифма положительно, и его положительная степень тоже положительна. Поэтому получить отрицательный аргумент обычным возведением в степень нельзя.
Беседа. Вычисление степеней и логарифмов
