З Занятие 1. Взаимное расположение прямых и плоскостей

Определения и обозначения

Прямая в плоскости — это прямая, все точки которой лежат в данной плоскости. Иначе говоря, такую прямую можно полностью поместить на плоскость. Это понятие помогает понять, рассматриваем ли мы прямую вместе с плоскостью или только её пересечение с плоскостью.

Пересекающиеся прямые — прямые, имеющие ровно одну общую точку. В этой точке они встречаются, но остальные их точки различны. Поиск общей точки позволяет отличить пересекающиеся прямые от параллельных и скрещивающихся.

Параллельные прямые — прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек. На плоскости они не встретятся даже при продолжении. Условие «в одной плоскости» особенно нужно в пространстве, потому что просто непересечения недостаточно.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости. Они могут находиться в разных частях объёмной фигуры. Это определение помогает заметить отличие пространственной ситуации от привычной картины на листе.

Как это устроено

В пространстве две прямые могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. Если есть общая точка, прямые пересекаются. Если общей точки нет, нужно дополнительно проверить плоскость: когда обе прямые лежат в одной плоскости, они параллельны, а когда такой плоскости нет, скрещиваются.

Прямая и плоскость могут не иметь общих точек, иметь одну общую точку или иметь общими все точки прямой. Эти варианты возникают потому, что прямая может находиться сбоку от плоскости, проходить через неё или полностью лежать в ней. Поэтому одного взгляда на отдельную точку недостаточно: нужно выяснить, сколько точек общей части.

Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, говорят, что прямая пересекает плоскость. Если при этом прямая встретила бы плоскость ещё в одной точке, вся прямая оказалась бы в этой плоскости, поэтому общая точка может быть только одна. Когда все точки прямой принадлежат плоскости, говорят, что прямая лежит в плоскости.

Две плоскости могут не иметь общих точек, совпадать или пересекаться. Если две различные плоскости имеют общую точку, они не могут расходиться снова в другой стороне: их общие точки образуют прямую. Поэтому при пересечении общей частью плоскостей является не отдельная точка, а целая прямая.

Различать случаи помогают два вопроса: есть ли общие точки и лежат ли фигуры в одной плоскости. Например, отсутствие общей точки у прямых показывает только, что они не пересекаются. Чтобы назвать их параллельными, нужно подтвердить их расположение в одной плоскости; иначе это скрещивающиеся прямые.

Взаимное расположение геометрических фигур

Пользуйтесь таблицей как алгоритмом: сначала определите, какие фигуры даны, затем сравните их общие точки. Для двух прямых отдельно проверяйте, лежат ли они в одной плоскости. Для плоскостей помните, что при пересечении общей частью служит прямая.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке даны две прямые в одной плоскости. Установите, пересекаются ли они или параллельны. Из условия уже известно, что проверять скрещивание не нужно: обе прямые находятся в одной плоскости.

1. Посмотрите, есть ли точка, принадлежащая одновременно обеим прямым.
2. Если такая точка есть, прямые пересекаются, потому что у них имеется общая точка.
3. Если общей точки нет, прямые параллельны: они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Ответ: при наличии общей точки прямые пересекаются, а при её отсутствии они параллельны. Важно опираться не на направление отрезков на рисунке, а на общие точки прямых. Если изображение неясное, продолжайте прямые мысленно или используйте данные условия.

Задача 2. Прямая проходит через плоскость стола и имеет с ней одну общую точку. Определите взаимное расположение прямой и плоскости. Здесь количество общих точек уже указано прямо в условии.

1. Выделите рассматриваемые объекты: одну прямую и плоскость стола.
2. Сосчитайте общие точки: по условию она ровно одна.
3. Сопоставьте результат с определением: одна общая точка означает пересечение прямой и плоскости.

Ответ: прямая пересекает плоскость стола. Она не лежит в плоскости, потому что тогда общими были бы все точки прямой. Она также не параллельна плоскости, поскольку при параллельности общих точек не было бы.

Задача 3. Рёбра прямоугольного параллелепипеда образуют две прямые. Они не пересекаются и не параллельны. Нужно определить их взаимное расположение, учитывая, что речь идёт о пространственной фигуре.

1. Отметьте первое условие: общих точек у прямых нет, значит, они не пересекаются.
2. Отметьте второе условие: прямые не параллельны, следовательно, нельзя считать их лежащими в одной плоскости.
3. Сравните признаки с определением скрещивающихся прямых: они не пересекаются и не лежат в одной плоскости.

Ответ: данные прямые скрещивающиеся. Рёбра параллелепипеда могут находиться на разных гранях, поэтому отсутствие пересечения ещё не делает их параллельными. Решение основано на двух признаках сразу.

Типичные ошибки

Называть любые непересекающиеся прямые параллельными. Так ошибаются, потому что на плоском листе обычно рассматривают только два варианта. Проверьте, лежат ли прямые в одной плоскости: если нет, они скрещивающиеся.

Считать, что пересечение прямой с плоскостью всегда означает несколько общих точек. Такое происходит, когда путают пересечение с расположением прямой в плоскости. Проверьте: одна общая точка означает пересечение, а все точки прямой — её лежание в плоскости.

Путать параллельные плоскости с совпадающими. Причина ошибки — представление, будто две одинаково расположенные плоскости обязательно имеют общие точки. Спросите себя, есть ли общая точка: у параллельных плоскостей их нет, а у совпадающих общими являются все точки.

Считать, что две плоскости могут пересекаться только в точке. В пространстве общие точки двух различных непараллельных плоскостей продолжаются в прямую. Значит, нужно искать не единственную точку, а общую прямую.

Связь с другими темами

• До этой темы нужно знать, что такое точка, прямая, плоскость и принадлежность точки геометрической фигуре. Эти понятия позволяют точно описывать общие части фигур.
• Тема опирается на пересечение и параллельность на плоскости, но расширяет их на пространство. Поэтому появляется новый случай — скрещивающиеся прямые.
• Представления о прямых и плоскостях пригодятся при изучении многогранников, их рёбер и граней. С их помощью можно определять положение элементов объёмных фигур.

Что запомнить

• Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.
• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
• Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости.
• Прямая и плоскость могут не иметь общих точек, иметь одну общую точку или иметь общими все точки прямой.
• Две различные пересекающиеся плоскости имеют общей прямую.
• Параллельные плоскости не имеют общих точек.