"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Параллельность в пространстве помогает описывать положение прямых и плоскостей относительно друг друга. Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются, а параллельная плоскости прямая вообще не имеет с ней общих точек. Плоскости называют параллельными, если они не пересекаются. Чтобы не ошибиться, нужно отличать параллельные объекты от пересекающихся и скрещивающихся, а также знать признаки, по которым параллельность доказывают.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Их обозначают так: a ∥ b. Такое определение помогает отличить параллельные прямые от скрещивающихся, которые тоже не имеют общей точки.
Прямая, параллельная плоскости, не лежит в этой плоскости и не имеет с ней общих точек. Обозначение: a ∥ α. Это понятие нужно, чтобы описывать положение ребра или линии относительно целой грани пространственной фигуры.
Параллельные плоскости — это плоскости, которые не пересекаются. Их обозначают α ∥ β. Например, так могут быть расположены две противоположные грани прямоугольного параллелепипеда.
Пересекающиеся прямые имеют общую точку, а скрещивающиеся не имеют общей точки и не лежат в одной плоскости. Параллельные прямые, напротив, не пересекаются, но обязательно лежат в одной плоскости. Это различие особенно важно при работе с фигурами в пространстве.
Две непересекающиеся прямые называют параллельными не всегда. В пространстве они могут проходить в разных направлениях и находиться в разных плоскостях. Поэтому условие одной плоскости исключает скрещивание и оставляет именно параллельное расположение.
Чтобы проверить параллельность прямой и плоскости, сначала ищут общие точки. Если прямая пересекает плоскость, общей точкой будет место пересечения, поэтому параллельности нет. Если прямая целиком лежит в плоскости, она тоже не считается параллельной ей: у объектов слишком много общих точек.
Пусть прямая a параллельна прямой b, лежащей в плоскости α. Этого ещё недостаточно: a может сама находиться в плоскости α. Дополнительное условие состоит в том, что a не должна лежать в α. Тогда a не пересекает плоскость и по признаку параллельна ей.
Для двух плоскостей одной пары параллельных прямых мало, потому что она показывает только одно направление. Если в плоскости α есть две пересекающиеся прямые, а в плоскости β — две пересекающиеся прямые, причём соответствующие прямые параллельны, направления плоскостей согласованы. Тогда плоскости не могут пересечься и являются параллельными.
В пространстве две прямые могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. Прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке, лежать так, что прямая полностью принадлежит плоскости, или быть параллельными. Две плоскости либо пересекаются по прямой, либо параллельны.
| Объекты | Условие параллельности | Обозначение | Главный признак или свойство |
|---|---|---|---|
| Две прямые | Лежат в одной плоскости и не пересекаются | a ∥ b | Не имеют общих точек |
| Прямая и плоскость | Прямая не лежит в плоскости и не пересекает её | a ∥ α | Достаточно найти в плоскости прямую, параллельную данной |
| Две плоскости | Не пересекаются | α ∥ β | Две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой |
| Пересекающиеся прямые | Параллельность отсутствует | a ∩ b | Имеют одну общую точку |
| Скрещивающиеся прямые | Параллельность отсутствует | — | Не пересекаются и не лежат в одной плоскости |
Сначала определите, какие объекты сравниваются, а затем проверьте их общие точки. Для двух прямых обязательно выясните, лежат ли они в одной плоскости. При доказательстве параллельности плоскостей ищите именно две пересекающиеся прямые в каждой плоскости.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ назовите все рёбра, параллельные ребру AB. Нужно учитывать не только рёбра передней грани, но и соответствующие рёбра верхней и нижней граней. Выбираем рёбра того же направления, которые не пересекают AB.
Ответ: CD, A₁B₁ и C₁D₁.
Докажем, что прямая AA₁ параллельна плоскости BCC₁B₁. В этой плоскости нужно найти прямую, параллельную AA₁. Затем проверим, что сама AA₁ не принадлежит указанной плоскости.
Ответ: AA₁ ∥ плоскости BCC₁B₁.
Докажем параллельность противоположных граней ABCD и A₁B₁C₁D₁. Возьмём в первой грани две пересекающиеся прямые AB и AD. В противоположной грани им соответствуют A₁B₁ и A₁D₁.
Ответ: противоположные грани ABCD и A₁B₁C₁D₁ параллельны. Аналогично доказывается параллельность любой пары противоположных граней.
Ошибка: называть параллельными любые непересекающиеся прямые. Её допускают, потому что на плоском чертеже трудно заметить третье измерение. Проверьте, можно ли обе прямые расположить в одной плоскости; если нельзя, они скрещиваются.
Ошибка: считать прямую, лежащую в плоскости, параллельной этой плоскости. Причина в том, что у прямой действительно может быть направление, похожее на направление другой линии в плоскости. Проверьте принадлежность: у параллельной прямой нет с плоскостью ни одной общей точки.
Ошибка: доказывать параллельность плоскостей одной парой параллельных прямых. Одно направление ещё не описывает положение всей плоскости. Найдите две пересекающиеся прямые в каждой плоскости и установите параллельность соответствующих пар.
Ошибка: путать скрещивающиеся и параллельные прямые. Обе пары не пересекаются, но параллельные лежат в одной плоскости, а скрещивающиеся — нет. Проверяйте сразу два условия: отсутствие общей точки и принадлежность одной плоскости.
До изучения темы нужны понятия прямой, плоскости, отрезка, пересечения и принадлежности точки прямой или плоскости. Они позволяют точно описывать, где расположены объекты и имеют ли они общие точки.
В планиметрии свойства параллельных прямых изучаются внутри одной плоскости. В стереометрии те же идеи помогают распознавать параллельность рёбер, граней и других частей пространственных фигур.
Дальше эти знания пригодятся при изучении сечений многогранников, расстояний между параллельными объектами и объёмов пространственных фигур. Понимание взаимного расположения делает построение сечений более обоснованным.
Могут ли две непересекающиеся прямые быть не параллельными?
Да. Если прямые не лежат в одной плоскости, они называются скрещивающимися, а не параллельными. Поэтому нужно проверить не только отсутствие общей точки, но и возможность расположить обе прямые в одной плоскости.
Чем параллельная прямая отличается от прямой, лежащей в плоскости?
Прямая, лежащая в плоскости, имеет с ней бесконечно много общих точек. Параллельная плоскости прямая не лежит в ней и не имеет с ней ни одной общей точки.
Как доказать, что прямая параллельна плоскости?
Нужно найти в этой плоскости прямую, параллельную данной. Затем убедиться, что исходная прямая не лежит в плоскости. Тогда по признаку параллельности прямая параллельна плоскости.
Почему одной пары параллельных прямых недостаточно для доказательства параллельности плоскостей?
Одна пара прямых задаёт только одно направление. Плоскости могут пересекаться, хотя в каждой из них найдутся параллельные прямые. Для доказательства нужны две пары соответственно параллельных пересекающихся прямых.
Как отличить скрещивающиеся прямые от параллельных?
Параллельные прямые не пересекаются и лежат в одной плоскости. Скрещивающиеся прямые тоже не имеют общей точки, но в одной плоскости их расположить нельзя.
З Занятие 2. Параллельность прямых и плоскостей
