"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Угол между прямыми или между прямой и плоскостью помогает описать их взаимное положение в пространстве. Для пересекающихся прямых выбирают меньший угол, а для скрещивающихся сначала проводят параллельные им прямые до пересечения. Угол между прямой и плоскостью находят через ортогональную проекцию прямой на эту плоскость. Эти правила позволяют заменить пространственный чертёж понятной плоской задачей и находить углы в кубе, параллелепипеде, призме и пирамиде.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Угол между пересекающимися прямыми — меньший из углов, образованных при их пересечении. Если получились углы 35° и 145°, углом между прямыми считают 35°. Такое правило устраняет выбор между двумя дополнительными углами.
Угол между скрещивающимися прямыми — угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым. Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости и не имеют общей точки. Определение позволяет измерить их взаимный наклон.
Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость. Проекцию получают, опуская точки прямой на плоскость перпендикулярно ей. Это определение помогает заменить объёмную фигуру плоским углом.
Ортогональная проекция прямой на плоскость — прямая, полученная проецированием всех точек исходной прямой на плоскость перпендикулярными отрезками. Если исходная прямая перпендикулярна плоскости, её проекция вырождается в одну точку. В обычном случае проекция задаёт направление, с которым сравнивают исходную прямую.
Скрещивающиеся прямые нельзя соединить общей вершиной: они находятся в разных плоскостях. Но параллельный перенос не меняет направление прямой и величину угла с другой прямой. Поэтому одну или обе прямые мысленно переносят так, чтобы они пересеклись в удобной точке, а затем измеряют меньший угол.
Чтобы построить проекцию прямой на плоскость, берут её точки и проводят через них перпендикуляры к плоскости. Точки пересечения этих перпендикуляров с плоскостью соединяют. Все точки исходной прямой имеют одно и то же направление проецирования, поэтому полученные точки лежат на одной прямой, если исходная прямая не перпендикулярна плоскости.
Проекция задаёт угол между прямой и плоскостью, потому что показывает, как исходная прямая направлена вдоль плоскости. Исходная прямая, её проекция и перпендикуляр к плоскости образуют прямоугольный треугольник. Угол при точке, где прямая входит в плоскость, и есть искомый угол.
Угол между прямой и плоскостью выбирают как меньший угол между прямой и её проекцией. Поэтому он не может быть больше 90°: возможны острый угол, прямой угол или нулевой угол. Если прямая направлена в противоположную сторону, это не создаёт нового, большего угла.
Перпендикуляр к плоскости называют нормалью к ней. Если угол между прямой и плоскостью равен α, а угол между этой прямой и нормалью равен β, то α + β = 90°. Когда прямая почти лежит вдоль плоскости, α мал, а β близок к 90°; когда прямая перпендикулярна плоскости, α = 90°, а β = 0°.
Частный случай легко узнать по взаимному положению. Если прямая не пересекает плоскость и параллельна некоторой прямой в этой плоскости, она параллельна плоскости, и угол равен 0°. Если все точки прямой лежат в плоскости, её тоже считают параллельной этой плоскости в смысле угла. При перпендикулярности прямая образует прямой угол с каждой прямой плоскости, проходящей через основание перпендикуляра.
| Объекты | Как определяется угол | Как построить | Частный случай |
|---|---|---|---|
| Пересекающиеся прямые | Меньший из двух углов при пересечении | Найти их общую точку и рассмотреть четыре луча | Перпендикулярные прямые: 90° |
| Скрещивающиеся прямые | Угол между пересекающимися параллельными им прямыми | Перенести одну прямую параллельно самой себе до пересечения | Параллельные направления дают 0° |
| Прямая и плоскость | Угол между прямой и её ортогональной проекцией | Спроектировать точки прямой на плоскость перпендикулярами | Перпендикулярность: 90° |
| Прямая, параллельная плоскости | Угол между прямой и направлением в плоскости | Провести в плоскости прямую, параллельную исходной | Угол равен 0° |
| Прямая, перпендикулярная плоскости | Прямой угол с плоскостью | Проверить перпендикулярность двум пересекающимся прямым плоскости | Угол равен 90° |
Сначала определи, какие объекты даны: пересекающиеся, скрещивающиеся или прямая с плоскостью. Затем используй третий столбец, чтобы построить нужный вспомогательный объект. Последний столбец помогает быстро проверить ответ в особых случаях.
Две пересекающиеся прямые образуют углы 35° и 145°. Требуется найти угол между прямыми. При пересечении двух прямых возникают две пары равных вертикальных углов. Поэтому достаточно выбрать меньшую величину.
Ответ: 35°. Угол 145° является дополнительным к искомому, но его не выбирают.
В кубе нужно найти угол между двумя скрещивающимися рёбрами. Одно ребро не пересекает другое, поэтому измерять угол прямо между ними нельзя. Используем ребро куба, параллельное одному из данных рёбер и имеющее общую вершину со вторым.
Ответ: 90°. Параллельный перенос сохранил направление первого ребра и не изменил искомый угол.
В прямоугольном параллелепипеде нужно найти угол между диагональю боковой грани и основанием. Пусть диагональ боковой грани соединяет верхнюю и нижнюю вершины, а её проекция на основание соединяет соответствующие точки основания. Вместе диагональ, её проекция и вертикальное ребро образуют прямоугольный треугольник.
Ответ: искомый угол равен углу между диагональю боковой грани и её проекцией на основание. Численное значение получают после подстановки известных длин.
Больший угол между пересекающимися прямыми принимают за угол между ними. Так происходит, если забывают, что выбирается меньший угол. Проверь себя: сравни две величины и выбери ту, которая не превышает 90°.
Угол между скрещивающимися прямыми пытаются измерить непосредственно. Такие прямые не имеют общей точки, поэтому обычный транспортир к ним применить нельзя. Проверь решение: должны появиться пересекающиеся прямые, параллельные исходным.
Угол между прямой и плоскостью путают с углом между прямой и перпендикуляром к плоскости. Причина ошибки — оба угла строятся рядом с одной и той же прямой. Проверь себя: для искомого угла нужна проекция, а угол с нормалью дополняет его до 90°.
Любую прямую, которая не пересекает плоскость на рисунке, считают параллельной ей. Перспективный чертёж может скрывать пересечение или не показывать нужное направление. Проверь, существует ли в плоскости прямая, параллельная данной, и не лежит ли исходная прямая в плоскости.
До изучения темы нужны виды взаимного расположения прямых и плоскостей, признаки параллельности и перпендикулярности, а также умение измерять углы. Новые правила применяются к кубу, параллелепипеду, призме и пирамиде: их рёбра и диагонали часто образуют нужные пары объектов. Позже эти знания пригодятся при нахождении расстояний и углов в пространстве, построении сечений многогранников и решении стереометрических задач.
Почему угол между скрещивающимися прямыми вообще можно определить, если они не пересекаются?
Скрещивающиеся прямые заменяют параллельными им прямыми, которые проводят через одну общую точку. Угол между получившимися пересекающимися прямыми и принимают за угол между исходными.
Как понять, какую именно проекцию прямой на плоскость нужно строить?
Каждую точку прямой мысленно опускают на плоскость по перпендикулярам к ней. Полученные точки образуют ортогональную проекцию; для отрезка обычно достаточно спроектировать его концы.
Чем отличается угол между прямой и плоскостью от угла между прямой и перпендикуляром к плоскости?
Угол с плоскостью измеряют между прямой и её проекцией на плоскость. Угол с перпендикуляром измеряют между прямой и нормалью к плоскости, поэтому эти углы в сумме дают 90°.
Почему угол между прямой и плоскостью берут не больше 90°?
По определению выбирают меньший угол между прямой и её проекцией. Поэтому он может быть острым, равным 90° или равным 0°, но не бывает больше прямого.
Как найти угол между прямой и плоскостью на чертеже куба или параллелепипеда?
Сначала определяют плоскость, с которой сравнивают прямую, и строят проекцию отрезка на неё. Затем находят угол между исходным отрезком и его проекцией, используя свойства прямоугольного треугольника.
З Занятие 3. Углы между прямыми и плоскостями
