"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Процесс — это изменения, которые происходят с предметом, величиной или явлением со временем. Чтобы разобраться в процессе и решить задачу, его можно описать проще — построить модель. В математике для этого используют числа, таблицы, схемы, графики и формулы. Модель помогает проследить изменения и найти ответ, но она не копирует реальность полностью: в ней оставляют важные для задачи сведения и заранее учитывают условия, при которых выводы будут верными.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Процесс — последовательность изменений, происходящих с предметом, величиной или явлением во времени. У процесса есть начальное состояние и то, как оно меняется дальше. Это понятие нужно, чтобы описывать не только отдельное значение, но и его изменение.
Модель — упрощённое описание или изображение объекта либо процесса, созданное для его изучения и решения задачи. Она оставляет нужные для ответа свойства и не обязана повторять все подробности настоящего объекта. Модель помогает рассуждать о ситуации, не изучая её непосредственно.
Моделирование — построение и использование модели вместо непосредственного изучения реального процесса. Сначала выбирают, какие стороны ситуации важны, затем представляют их удобным способом. Это нужно, чтобы наглядно проследить изменения или выполнить расчёт.
Математическая модель — описание процесса с помощью чисел, величин, таблиц, схем, графиков или формул. Например, изменение количества воды можно выразить таблицей или формулой. Такая модель показывает связи между величинами и помогает найти неизвестное значение.
Чтобы изучать процесс, сначала определяют, что именно меняется: например, расстояние, количество воды или время работы. Затем выясняют, что влияет на изменение и какие условия заданы. Без этого нельзя понять, какие данные связаны между собой и что именно нужно описать. Выделение изменяющейся величины задаёт основу для модели.
В задаче могут быть подробности, которые не влияют на ответ, поэтому в модель включают не всё подряд. Нужно сопоставить каждое сведение с вопросом: меняет ли оно нужные вычисления или вывод? Если нет, его обычно можно опустить. Так модель становится проще, а нужная связь между величинами — заметнее.
Один процесс можно описать словами, таблицей, схемой, графиком или формулой. Слова удобны, чтобы объяснить ход изменений, таблица — чтобы сравнить значения, а схема помогает показать устройство ситуации. График наглядно показывает, как одна величина зависит от другой; формула коротко задаёт эту зависимость. Способ выбирают по цели задачи, а иногда полезно соединить несколько способов.
По модели прослеживают процесс и получают ответ: подставляют известные данные, продолжают закономерность или находят нужное значение. Затем проверяют, соответствует ли результат условию, верны ли единицы измерения и разумно ли число для данной ситуации. Такая проверка нужна, потому что ошибка в выбранной связи или вычислении может дать неподходящий ответ. Модель помогает рассуждать, но не заменяет проверку.
Модель упрощает реальность, поэтому её выводы верны не при любых обстоятельствах. Например, при расчёте движения можно считать скорость постоянной, хотя в жизни велосипедист может ускоряться или останавливаться. Нужно помнить, какие условия приняты, и применять вывод только там, где эти условия подходят. Если условия изменились, модель может потребоваться другая.
| Способ модели | Как представляется процесс | Что удобно выяснять | Пример |
|---|---|---|---|
| Словесное описание | Изменения объясняются словами | Как и при каких условиях идёт процесс | Каждую минуту к воде добавляют 1 л |
| Таблица значений | Данные записываются по строкам или столбцам | Значения величин в выбранные моменты | Время в минутах и объём воды в литрах |
| Схема или рисунок | Объекты и связи между ними показываются изображением | Расположение объектов и порядок действий | Два пункта и направление движения пешеходов |
| График зависимости | Изменение одной величины показывается относительно другой | Как меняется величина при изменении другой | Расстояние велосипедиста в зависимости от времени |
| Формула | Связь величин записывается математически | Значение величины для заданных данных | Расстояние при равномерном движении: s = vt |
Сначала реши, что требуется узнать: отдельные значения, ход процесса или связь величин. Затем выбери подходящий способ и подпиши величины и единицы измерения. Если одного представления недостаточно, дополни его другим, например таблицей или формулой.
В сосуд налили 2 л воды, затем каждую минуту добавляют ещё 1 л. Нужно описать, как меняется количество воды. Обозначим время в минутах буквой t, а объём воды в литрах — буквой V. Предположим, что воду не выливают.
Начальное состояние — 2 л, это объём при t = 0. Каждую минуту объём увеличивается на 1 л. Значит, процесс словами можно описать так: к начальным 2 л каждую минуту прибавляется ещё по 1 л.
Запишем первые значения в таблицу: при 0 мин — 2 л, при 1 мин — 3 л, при 2 мин — 4 л, при 3 мин — 5 л. В каждом следующем столбце время увеличивается на минуту, а объём — на 1 л. Общее правило можно записать формулой V = 2 + t.
Проверим правило: через 3 минуты оно даёт V = 2 + 3 = 5 л, как и таблица. Формула описывает процесс при условии, что добавление воды продолжается с прежней скоростью и сосуд вмещает нужный объём. Ответ: количество воды увеличивается на 1 л каждую минуту; через t минут оно равно 2 + t л.
Велосипедист движется со скоростью 12 км/ч. Требуется составить таблицу расстояния через 1, 2, 3 и 4 часа, а затем найти расстояние через 5 часов. Обозначим время в часах через t, а расстояние в километрах через s. Считаем, что скорость всё время остаётся постоянной.
При равномерном движении расстояние равно скорости, умноженной на время: s = 12t. Единицы согласованы: км/ч умножаем на часы и получаем километры. Это и есть модель движения велосипедиста.
Подставим в формулу заданное время. За 1 час велосипедист проедет 12 км, за 2 часа — 24 км, за 3 часа — 36 км, за 4 часа — 48 км. Таблица значений: время t (ч) — 1, 2, 3, 4; расстояние s (км) — 12, 24, 36, 48.
Чтобы найти расстояние за 5 часов, подставим t = 5: s = 12 · 5 = 60 км. Проверка показывает, что за каждый час прибавляется по 12 км, поэтому число соответствует закономерности таблицы. Ответ: через 5 часов велосипедист проедет 60 км.
Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 18 км. Их скорости — 4 км/ч и 5 км/ч. Нужно определить время до встречи. Будем считать, что пешеходы движутся с постоянными скоростями.
Обозначим время до встречи через t часов. За это время первый пешеход пройдёт 4t км, а второй — 5t км. Так как они идут навстречу, вместе они проходят всё расстояние между пунктами.
Составим равенство: 4t + 5t = 18. Складываем подобные слагаемые и получаем 9t = 18, значит, t = 2. Смысл этого действия в том, что за каждый час расстояние между пешеходами уменьшается на 4 + 5 = 9 км.
Проверим найденное время: за 2 часа первый пройдёт 8 км, а второй — 10 км. Вместе они пройдут 8 + 10 = 18 км, то есть всё расстояние между пунктами. Ответ: пешеходы встретятся через 2 часа.
Считать модель точной копией реальности. Модель специально упрощает процесс и может не учитывать детали, которые не нужны для ответа. Ошибка возникает, если забыть, что у модели есть условия применения. Проверь, какие упрощения приняты и подходят ли они к задаче.
Не указывать, какая величина меняется и от чего она зависит. Тогда непонятно, как связать данные условия и что подставлять в вычисления. Такое бывает, когда сразу начинают считать, не разобрав задачу. Перед решением назови изменяющуюся величину, остальные величины и связь между ними.
Смешивать единицы измерения. Например, километры и метры нельзя складывать без перевода в одну единицу. Это может дать неверный результат, даже если вычисление выполнено правильно. Проверь единицы всех величин и приведи их к согласованному виду.
Не проверять вычисленный результат по условию. Число может быть получено верно по формуле, но не подходить к ситуации из-за ошибки в модели или неверных условий. Причина — доверие одному только вычислению. Подставь ответ обратно в условие, проверь единицы и оцени, разумен ли результат.
Для построения модели нужно уметь читать условие задачи, выделять известные и неизвестные величины и выполнять действия с числами. Таблицы и графики помогают изучать зависимость одной величины от другой. Модели пригодятся в задачах на движение, покупки, время работы и изменение величин. Поэтому навык моделирования связывает вычисления с описанием реальных ситуаций.
Чем модель отличается от самого процесса?
Процесс происходит в действительности, а модель — его упрощённое описание или изображение. Она сохраняет важные для задачи свойства, но может не учитывать другие подробности.
Обязательно ли изображать модель рисунком?
Нет. Модель можно описать словами, записать в таблице или формулой, показать схемой либо графиком. Способ выбирают по тому, что удобнее выяснить.
Можно ли один процесс описать и таблицей, и формулой?
Да, один процесс часто можно представить несколькими способами. Например, таблица показывает значения для отдельных моментов, а формула помогает находить значения для любого подходящего момента.
Как понять, какие сведения можно не учитывать в модели?
Нужно проверить, влияют ли эти сведения на вопрос задачи. Если без них ответ не изменится, их обычно можно не включать, но принятые упрощения должны подходить к условиям.
Почему ответ, полученный по модели, нужно проверять?
Модель упрощает реальность и работает только при принятых условиях. Поэтому нужно проверить вычисления, единицы измерения и то, подходит ли найденный результат к исходной ситуации.
З Занятие 1. Процесс и его моделирование
