Беседа. Платоновы тела

Определения и обозначения

Правильный многогранник — выпуклый многогранник, у которого все грани являются одинаковыми правильными многоугольниками, а в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Выпуклый означает, что отрезок между любыми двумя точками тела целиком лежит внутри него. Эти условия нужны, чтобы тело имело одинаковое устройство во всех направлениях.

Платоновы тела — пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их выделяют потому, что они полностью подчиняются строгому правилу одинаковых граней и вершин. Название объединяет тела, которые часто используют как основные примеры пространственной симметрии.

Тетраэдр — правильный многогранник с четырьмя треугольными гранями. У него каждая грань является равносторонним треугольником, а в каждой вершине встречаются три грани. Это самое простое из Платоновых тел.

Икосаэдр — правильный многогранник с двадцатью треугольными гранями. Его треугольники равносторонние, но сами грани собраны вокруг вершин иначе, чем у тетраэдра. По числу граней икосаэдр — самый «многогранный» среди пяти тел.

Как это устроено

Одинаковое устройство граней и вершин нужно для полной правильности тела. Если одна грань отличается от остальных или в одной вершине сходится другое число граней, многогранник уже не обладает одинаковой симметрией во всех местах. Поэтому проверяют не только форму граней, но и то, как они соединены.

Грани Платоновых тел складываются из правильных многоугольников: треугольников, квадратов или пятиугольников. В одной вершине встречаются несколько таких граней, и их плоские углы заполняют пространство вокруг точки. Чем меньше угол многоугольника, тем больше граней можно соединить около вершины, но одинаковое соединение должно повторяться у всего тела.

Возможность существования тела проверяют по углам. Сумма плоских углов граней при вершине должна быть меньше 360°, потому что при равенстве грани распрямятся в одну плоскость, а при превышении не смогут замкнуться. Например, три угла квадрата дают 90° · 3 = 270°, поэтому из квадратов получается куб.

Пять тел различаются формой граней и числом элементов. Тетраэдр имеет 4 грани, 6 рёбер и 4 вершины, а куб — 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. У октаэдра 8 граней, у додекаэдра 12, у икосаэдра 20; соответствующие числа рёбер и вершин удобно сравнивать по таблице.

Платоновы тела связаны попарно двойственностью. Если мысленно поставить точку в центре каждой грани одного тела и соединить подходящие точки, получится другое тело: вершины исходного соответствуют граням нового, а грани — вершинам. Так, куб и октаэдр образуют пару, додекаэдр и икосаэдр — другую, а тетраэдр двойственен сам себе.

Основные свойства Платоновых тел

Таблица помогает быстро узнать тело по форме и числу граней. Для проверки можно сопоставить сразу несколько столбцов: например, 20 треугольных граней однозначно указывают на икосаэдр. Числа граней, рёбер и вершин также должны удовлетворять формуле V − E + F = 2.

Разбор задач

1. Квадратные грани и четыре грани в вершине

Нужно определить, является ли правильным многогранник, у которого грани — квадраты, а в каждой вершине сходятся четыре грани. Одного условия о форме граней недостаточно: надо проверить также углы и возможность замыкания тела.

1. Квадрат — правильный многоугольник, поэтому первое условие выполнено.
2. Угол квадрата равен 90°. Четыре угла в вершине дают 90° · 4 = 360°.
3. При сумме 360° грани распрямляются, поэтому выпуклое объёмное тело не образуется.

Ответ: такой многогранник не является правильным Платоновым телом и вообще не может замкнуться как выпуклый многогранник.

2. Восемь треугольных граней

Найти рёбра и вершины можно по числу граней или узнать тело в таблице. Восемь одинаковых правильных треугольников образуют октаэдр, но полезно проверить результат формулой Эйлера.

1. По числу граней определяем тело: это октаэдр, значит, у него 12 рёбер и 6 вершин.
2. Проверяем: V − E + F = 6 − 12 + 8 = 2.
3. Равенство выполнено, поэтому подсчёт согласуется со свойствами выпуклого многогранника.

Ответ: 12 рёбер и 6 вершин.

3. Почему нельзя использовать правильные шестиугольники

Предположим, что грани будущего тела являются правильными шестиугольниками. В каждой вершине нужно соединить не менее трёх граней, потому что две грани образуют только угол, а не замкнутую вершину.

1. Угол правильного шестиугольника равен 120°.
2. Три угла в одной вершине дают 120° · 3 = 360°.
3. При такой сумме поверхность становится плоской, а больше трёх граней соединить нельзя, поскольку сумма превысит 360°.

Ответ: правильный многогранник с шестиугольными гранями построить нельзя.

Типичные ошибки

Считать любой многогранник с одинаковыми гранями Платоновым телом. Одинаковая форма граней ещё не гарантирует одинаковое устройство вершин. Проверьте, сколько граней сходится в каждой вершине.

Путать число граней, рёбер и вершин. Особенно легко перепутать додекаэдр и икосаэдр, потому что их названия непривычны. Сверяйте сразу форму и число граней, а затем проверяйте результат формулой V − E + F = 2.

Считать, что из любого правильного многоугольника получится тело. Угол многоугольника может оказаться слишком большим. Посчитайте сумму углов хотя бы трёх граней в вершине: она должна быть меньше 360°.

Неверно применять формулу Эйлера. В ней V — вершины, E — рёбра, F — грани, а сама формула относится к выпуклым многогранникам. Подставляйте элементы именно в таком порядке и пересчитывайте каждое значение.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны знания о правильных многоугольниках, их углах, а также о гранях, рёбрах и вершинах. Позже Платоновы тела помогут при изучении объёмных тел, формулы Эйлера, симметрии и пространственной геометрии. В жизни их модели встречаются при описании кристаллов, архитектурных конструкций, способов разбиения пространства и игровых многогранников.

Что запомнить

• Платоновых тел существует ровно пять.
• У правильного многогранника все грани — одинаковые правильные многоугольники.
• В каждой вершине правильного многогранника сходится одинаковое число граней.
• Пять Платоновых тел — тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
• Для выпуклого многогранника выполняется формула V − E + F = 2.
• Сумма плоских углов граней при вершине должна быть меньше 360°.