З Занятие 5. Правильные многогранники

Определения и обозначения

Многогранник — тело, поверхность которого состоит из многоугольников. Например, куб ограничен квадратами, а тетраэдр — треугольниками. Это определение помогает отличить многогранник от тел с круглой поверхностью.

Грань — многоугольник, являющийся частью поверхности многогранника. Грани как бы складываются в оболочку объёмного тела. По форме граней часто можно определить вид многогранника.

Ребро — сторона грани; вершина — точка, в которой сходятся рёбра. Ребро одновременно принадлежит двум соседним граням, а вершина соединяет несколько рёбер. Эти элементы нужны, чтобы описывать и подсчитывать строение тела.

Правильный многогранник — многогранник, у которого все грани являются равными правильными многоугольниками и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Значит, недостаточно иметь просто одинаковые грани: они должны быть правильными, а вершины — устроены одинаково. Только при выполнении всех условий тело называют правильным.

Как это устроено

Грани, рёбра и вершины образуют многогранник вместе. Грани закрывают его поверхность, рёбра служат общими границами соседних граней, а вершины соединяют рёбра в отдельных точках. Если убрать грань, поверхность перестанет быть замкнутой, поэтому элементы связаны не случайно.

Для правильного многогранника важны сразу три свойства: правильная форма каждой грани, равенство всех граней и одинаковое число граней в вершинах. Если треугольники равны, но в одной вершине их три, а в другой четыре, устройство тела уже неодинаково. Если грани равны, но имеют форму неправильных многоугольников, условие правильности тоже нарушается.

Из правильных треугольников получаются три вида тел. Если в вершине сходятся три треугольника, получается тетраэдр; четыре — октаэдр; пять — икосаэдр. Из квадратов при соединении трёх граней в каждой вершине получается куб, а из правильных пятиугольников при таком же соединении — додекаэдр.

Других правильных многогранников нет из-за углов. Сумма плоских углов граней, сходящихся в вершине выпуклого тела, должна быть меньше 360°, иначе грани развернутся в плоскость или не смогут образовать вершину. У правильного треугольника угол 60°, у квадрата 90°, у правильного пятиугольника 108°; для шестиугольника угол уже 120°, и три таких угла дают 360°.

Числа граней, рёбер и вершин связаны формулой Эйлера: В − Р + Г = 2. Буква В обозначает число вершин, Р — рёбер, Г — граней. Например, для куба 8 − 12 + 6 = 2, поэтому формула одновременно помогает находить неизвестный элемент и проверять результат.

Пять правильных многогранников и их элементы

Пользуйся таблицей, чтобы сначала определить форму грани, а затем сравнить число граней и устройство вершин. Если название неизвестно, эти признаки обычно позволяют восстановить его. Последняя строка служит быстрой проверкой подсчётов.

Разбор задач

Задача 1. Определить, является ли правильным многогранником тело, составленное из равных треугольников, если в одной вершине сходятся неодинаковые числа граней.

1. Равные треугольники ещё не доказывают правильность тела: нужно проверить все условия определения.
2. Треугольники должны быть правильными, а в каждой вершине должно сходиться одинаковое число граней. Второе условие нарушено, поэтому тело не является правильным многогранником.

Ответ: нет, не является.

Задача 2. У куба 6 граней и 8 вершин. Найти число рёбер и проверить результат по формуле Эйлера.

1. Подставим известные значения в формулу В − Р + Г = 2: 8 − Р + 6 = 2.
2. Получаем 14 − Р = 2, значит, Р = 12. Проверка: 8 − 12 + 6 = 2, что совпадает с формулой.

Ответ: у куба 12 рёбер.

Задача 3. Правильный многогранник имеет 20 граней, каждая грань — треугольник. Определить его название, число рёбер и вершин.

1. Среди пяти правильных многогранников 20 треугольных граней имеет икосаэдр, значит, тело называется икосаэдром.
2. В каждой из 20 граней по 3 стороны, поэтому при сложении сторон получаем 20 · 3 = 60. Каждое ребро посчитано дважды, значит, Р = 60 : 2 = 30.
3. По формуле Эйлера В − 30 + 20 = 2. Отсюда В = 12.

Ответ: это икосаэдр; у него 30 рёбер и 12 вершин.

Типичные ошибки

Считать правильным любой многогранник с равными гранями — ошибка, потому что грани должны быть ещё и правильными многоугольниками. Так бывает, когда проверяют только одинаковый размер фигур. Проверь форму граней и число граней в каждой вершине.

Путать число граней с числом рёбер или вершин особенно легко у куба и октаэдра: у них по 12 рёбер. Не смешивай названия элементов с их расположением на теле. Полезно отдельно записывать три числа: Г, Р и В.

При подсчёте рёбер нельзя просто складывать стороны всех граней. Каждое ребро принадлежит двум граням, поэтому сумму сторон нужно разделить на два. Если результат не совпадает с известными свойствами тела, проверь это деление.

Нельзя называть многогранник только по форме одной грани. Треугольные грани есть у тетраэдра, октаэдра и икосаэдра, но число граней и устройство вершин у них различаются. Сверяй сразу несколько признаков.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны знания о видах многоугольников, правильных многоугольниках, элементах фигур и формуле Эйлера. Эти сведения позволяют распознавать многогранники и проверять вычисления.

Правильные многогранники пригодятся при изучении объёмов, площадей поверхности, развёрток и пространственной геометрии. Их свойства применяются также в архитектуре, моделировании, кристаллографии и компьютерной графике.

Что запомнить

• Правильный многогранник состоит из равных правильных многоугольников.
• Во всех вершинах правильного многогранника сходится одинаковое число граней.
• Существуют пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
• У каждого ребра есть две соседние грани.
• Для выпуклого многогранника выполняется формула В − Р + Г = 2.
• Куб имеет 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
• Форма граней и их число позволяют распознать правильный многогранник.