З Занятие 4. Круглые тела

Определения и обозначения

Цилиндр — круглое тело с двумя равными параллельными кругами в основаниях и боковой поверхностью. Если представить банку идеальной формы, её верх и низ будут основаниями, а стенка — боковой поверхностью. Это определение помогает узнать цилиндр по двум одинаковым кругам.

Конус — круглое тело с круглым основанием и вершиной, не лежащей в плоскости основания. Все точки боковой поверхности соединяют вершину с окружностью основания. По одному основанию и одной вершине конус легко отличить от цилиндра.

Шар — тело, состоящее из всех точек пространства, удалённых от данной точки не более чем на заданное расстояние. Данная точка называется центром, а заданное расстояние — радиусом. Так описывают не только оболочку, но и всё пространство внутри неё.

Сфера — поверхность шара, то есть его граница. Точки сферы находятся от центра ровно на расстоянии радиуса, а точки шара могут быть ближе к центру. Поэтому шар можно представить как наполненный объём, а сферу — как его наружную оболочку.

Как это устроено

Цилиндр получается при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. Вращаемая сторона остаётся на месте и становится осью цилиндра, поэтому её длина превращается в высоту. Две другие стороны движутся по кругу и образуют радиусы двух равных оснований, потому что находятся на одинаковом расстоянии от оси.

Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Этот катет не перемещается и становится высотой, а второй катет вращается и заметает круглое основание. Гипотенуза при движении образует боковую поверхность, поэтому её называют образующей конуса.

Размер шара и сферы задаёт радиус: чем он больше, тем дальше граница от центра и тем крупнее тело. У сферы расстояние от любой точки до центра одинаково и равно радиусу. У шара разрешены также все меньшие расстояния, поэтому он включает внутреннюю часть.

У цилиндра и конуса выделяют основания, радиусы и диаметры оснований, высоту и ось. Ось проходит через центры оснований цилиндра, а у конуса соединяет вершину с центром основания. Образующая особенно характерна для конуса: это отрезок от вершины до точки окружности основания; у цилиндра боковая поверхность образуется параллельными оси отрезками.

Круглые тела отличаются от многогранников формой поверхности. У многогранника грани — плоские многоугольники, а у цилиндра и конуса есть криволинейная боковая поверхность, у шара — полностью криволинейная поверхность. Поэтому для их описания нужны круги, окружности, радиусы и образующие, а не только рёбра и вершины.

Основные круглые тела и их элементы

Таблицу удобно использовать для сравнения: сначала найдите основание и вершину, затем проверьте остальные элементы. Если у тела два одинаковых круглых основания, это цилиндр, а если одно основание заканчивается вершиной, это конус. Полностью округлое тело без оснований — шар.

Разбор задач

Задача 1

Определить, какое круглое тело изображено, если оно имеет два равных параллельных круглых основания, и назвать его основные элементы. Главное свойство в условии — наличие двух одинаковых оснований, расположенных параллельно.

1. Сравниваем описание с определениями: два равных параллельных круга являются основаниями цилиндра.
2. Называем радиус основания и диаметр, если известен центр круга.
3. Выделяем высоту как перпендикулярное расстояние между основаниями.
4. Называем ось — отрезок, соединяющий центры двух оснований.

Ответ: изображён цилиндр; его основные элементы — два основания, радиус, диаметр, высота и ось.

Задача 2

Прямоугольный треугольник вращают вокруг одного из катетов. Нужно определить тело и сопоставить стороны треугольника с его элементами. Для этого важно понять, какая сторона остаётся неподвижной, а какие движутся.

1. Вращение вокруг катета образует конус, потому что второй катет заметает круг, а гипотенуза создаёт боковую поверхность.
2. Неподвижный катет становится высотой конуса.
3. Второй катет становится радиусом круглого основания.
4. Гипотенуза становится образующей конуса.

Ответ: получается конус; катет-ось — высота, второй катет — радиус основания, гипотенуза — образующая.

Задача 3

Сравнить шар и сферу радиуса 4 см: определить множество точек на расстоянии 4 см от центра и множество точек на расстоянии не более 4 см. Различие определяется словами «ровно» и «не более».

1. Расстояние ровно 4 см задаёт наружную границу тела, то есть сферу.
2. Расстояния от 0 до 4 см включают центр и все внутренние точки.
3. Такое множество точек образует шар радиуса 4 см.

Ответ: точки на расстоянии 4 см образуют сферу, а точки на расстоянии не более 4 см — шар.

Типичные ошибки

Ошибка: называть шар сферой. Эти слова связаны, потому что сфера является границей шара, но шар включает весь объём. Проверка: спросите себя, входят ли внутренние точки; если да, речь идёт о шаре.

Ошибка: считать у цилиндра одну вершину или одну грань. Такое представление появляется из-за рисунка, где боковая поверхность кажется похожей на прямоугольник. Проверка: у цилиндра два круглых основания, нет угловых точек и рёбер-многоугольников.

Ошибка: путать высоту конуса с образующей. Высота идёт перпендикулярно к плоскости основания, а образующая наклонно соединяет вершину с точкой окружности. Проверка: один конец высоты должен попасть в центр основания, а конец образующей — на окружность.

Ошибка: изображать у конуса два основания. Иногда вторую линию на рисунке принимают за второе основание, хотя это обычно часть изображения окружности или боковой поверхности. Проверка: у конуса только одно круглое основание и одна вершина.

Связь с другими темами

Перед изучением круглых тел нужно различать круг и окружность, знать радиус и диаметр, а также понимать, что значит параллельность и перпендикулярность. Полезно уметь распознавать многогранники и их плоские грани.

Эти знания понадобятся при изучении объёмов и площадей поверхностей цилиндра, конуса и шара. Например, радиус и высота станут главными величинами в формулах.

Круглые тела встречаются в практических задачах о банках, стаканах, конусах дорожного движения, мячах и других предметах. Геометрическая модель позволяет упростить форму реального объекта и выполнить расчёты.

Что запомнить

• Цилиндр имеет два равных параллельных круглых основания.
• Конус имеет одно круглое основание и вершину.
• У цилиндра нет вершин, а у конуса есть одна вершина.
• Шар — объёмное тело, а сфера — его поверхность.
• Высота перпендикулярна плоскости основания.
• Цилиндр и конус можно получить вращением плоских фигур.
• Радиус определяет размер круглого основания или шара.