"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Пирамида — пространственная фигура, состоящая из многоугольника-основания и точки вне его плоскости, соединённой со всеми вершинами основания. Получаются треугольные боковые грани. По числу сторон основания можно определить количество граней, рёбер и вершин пирамиды. Знание её устройства помогает читать развертки и находить площадь основания, боковой и полной поверхности.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пирамида — многогранник, полученный соединением всех вершин многоугольника с точкой, не лежащей в его плоскости. Многоугольник служит нижней частью фигуры, а новая точка становится её общей вершиной. Это определение позволяет отличить пирамиду от других пространственных фигур.
Основание пирамиды — многоугольник, выбранный в качестве одной из граней пирамиды. Им может быть треугольник, четырёхугольник, пятиугольник и другой многоугольник. По форме основания обычно называют всю пирамиду: например, треугольной или пятиугольной.
Боковая грань пирамиды — треугольник, общей стороной которого является боковое ребро пирамиды. Один угол такого треугольника находится в вершине пирамиды, а два других — в соседних вершинах основания. Боковые грани вместе образуют боковую поверхность фигуры.
Высота пирамиды — перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, и его длина. Точка, в которой высота встречается с основанием, может лежать внутри многоугольника или на его продолжении. Высота нужна для изучения размеров пирамиды и вычислений, поэтому её нельзя путать с боковым ребром.
Чтобы построить пирамиду, сначала выбирают многоугольник основания. Затем берут точку вне плоскости этого многоугольника, иначе вся фигура осталась бы плоской. Соединение новой точки с каждой вершиной основания создаёт все боковые рёбра и полностью задаёт пирамиду.
Боковая грань содержит вершину пирамиды и две соседние вершины основания. Между этими тремя точками проходят три отрезка, поэтому получается треугольник. У каждой стороны основания есть своя такая грань, а если соединить все грани по боковым рёбрам, получится боковая поверхность пирамиды.
Пусть основание имеет n сторон. У каждой стороны есть два конца, но при соединении всех вершин с вершиной пирамиды появляется ровно одно боковое ребро на каждую вершину основания, то есть n рёбер. Поэтому боковых граней тоже n, а вместе с рёбрами основания общее число рёбер равно 2n.
Вершины основания принадлежат многоугольнику, а вершина пирамиды находится вне его плоскости и соединена со всеми вершинами основания. Боковое ребро идёт наклонно от вершины пирамиды к вершине основания. Высота опускается к плоскости основания под прямым углом, поэтому её конец не обязан быть вершиной основания, а сама высота не обязана совпадать с ребром.
Развёртка помогает мысленно «раскрыть» поверхность пирамиды и расположить её на плоскости. В ней видно основание и все боковые треугольники, поэтому можно отдельно найти их площади. Затем площадь основания складывают с суммой площадей боковых граней и получают площадь полной поверхности.
В таблице буква n означает число сторон многоугольника в основании. Сначала определите n, а затем подставьте его в нужную формулу. Для отдельных элементов достаточно посчитать стороны, вершины или треугольные грани основания.
| Элемент или свойство | Что представляет собой | Количество или способ определения |
|---|---|---|
| Основание | Многоугольник, выбранный как грань пирамиды | 1, имеет n сторон |
| Вершина пирамиды | Точка вне плоскости основания, соединённая с его вершинами | 1 |
| Боковая грань | Треугольник с вершиной пирамиды и стороной основания | n |
| Боковое ребро | Отрезок от вершины пирамиды к вершине основания | n |
| Высота | Перпендикуляр от вершины к плоскости основания | 1; строится под прямым углом к основанию |
| Число вершин | Вершины основания и вершина пирамиды | n + 1 |
| Число рёбер | Рёбра основания и боковые рёбра | n + n = 2n |
| Число граней | Основание и боковые треугольники | 1 + n = n + 1 |
Рассмотрите пятиугольную пирамиду и назовите её основание, вершину, боковые грани, боковые рёбра и высоту. Обозначим вершины основания буквами A, B, C, D, E, а общую вершину пирамиды — буквой S. Такое обозначение позволяет перечислить элементы без рисунка.
Боковые грани названы по сторонам пятиугольника, к которым они прилегают. Высота обозначена отдельно, потому что точка H обычно не является вершиной основания. Ответ: основание ABCDE, вершина S, пять перечисленных граней, пять рёбер и высота SH.
Сколько вершин, рёбер и граней имеет семиугольная пирамида? Основание имеет семь сторон, значит, берём n = 7. Нужно учесть как элементы основания, так и те, которые появляются после соединения его вершин с вершиной пирамиды.
Ответ: 8 вершин, 14 рёбер и 8 граней. Числа получены по формулам n + 1, 2n и n + 1.
Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат со стороной 10 см, а высота каждой боковой грани, проведённая к стороне основания, равна 13 см. Требуется найти площадь полной поверхности. В условии дана высота бокового треугольника, поэтому её используют для площади грани, а не принимают за высоту всей пирамиды.
Ответ: 360 см². Сначала нашли площади частей поверхности, а затем добавили площадь основания к площади боковой поверхности.
Боковое ребро называют высотой, потому что оба отрезка выходят из вершины пирамиды. Но ребро заканчивается в вершине основания, а высота должна быть перпендикулярна плоскости основания. Проверьте наличие прямого угла с плоскостью, а не только общий конец отрезков.
Основанием считают любую грань пирамиды без учёта условия. Основание выбирают заранее, а остальные грани по отношению к нему называют боковыми. Перед решением подпишите или мысленно выделите именно заданное основание.
Путают число рёбер и граней, забывая, что у n-угольной пирамиды боковых рёбер и боковых граней по n. Рёбра включают ещё n сторон основания, поэтому их всего 2n. Для проверки отдельно посчитайте элементы основания и добавленные боковые элементы.
При нахождении полной площади складывают только площади боковых граней. Полная поверхность включает и основание, поэтому нужно использовать формулу Sполной = Sоснования + Sбоковой. Проверьте, что в последней строке вычислений присутствуют обе части поверхности.
До изучения пирамид нужны знания о многоугольниках, вершинах, сторонах и треугольниках. При вычислениях пригодятся формулы площадей и представление о перпендикуляре. Эти понятия помогают распознавать элементы пирамиды и не путать их.
Развёртки связывают пространственные фигуры с плоскими. Разложив пирамиду на основание и треугольники, можно увидеть всю её поверхность. Такой способ особенно удобен при вычислении площадей.
Позже пирамида встретится при изучении объёма, правильных многогранников и других пространственных фигур. Знание числа граней, рёбер и вершин пригодится в задачах на свойства многогранников. Представление о высоте станет основой для формулы объёма пирамиды.
Может ли высота пирамиды совпадать с боковым ребром?
Да, может, если боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Обычно это не так: боковое ребро соединяет вершину пирамиды с вершиной основания, а высота опускается перпендикулярно на плоскость основания.
Почему боковые грани пирамиды всегда треугольники?
Каждая боковая грань получается из бокового ребра и одной стороны основания. Эти отрезки соединяют вершину пирамиды с двумя соседними вершинами основания, поэтому образуют треугольник.
Как быстро определить число рёбер и граней пирамиды?
Если в основании n сторон, то боковых рёбер и боковых граней по n. Всего рёбер 2n, а граней n + 1, потому что к n боковым граням добавляется основание.
Можно ли считать любую грань основанием пирамиды?
Основание выбирают заранее, поэтому в решении нужно следовать этому выбору. Теоретически другую грань иногда можно рассматривать как основание, но тогда изменятся боковые грани и высота.
Как найти площадь полной поверхности пирамиды по её развертке?
Нужно сложить площадь многоугольника-основания и площади всех треугольников боковых граней. На развертке эти фигуры расположены рядом на плоскости, поэтому их площади можно вычислять обычными формулами.
З Занятие 3. Пирамиды
