З Занятие 2. Параллелепипеды и призмы

Определения и обозначения

Параллелепипед — многогранник, у которого шесть граней, и каждая грань является параллелограммом. Вершины обозначают заглавными буквами, например A, B, C, D, а рёбра записывают парами вершин: AB, BC. Грани называют по трём или четырём вершинам, например ABCD.

Призма — многогранник с двумя равными параллельными основаниями и боковыми гранями-параллелограммами. Основаниями могут быть треугольники, четырёхугольники, пятиугольники и другие многоугольники. Название связано с телом, которое получается при как бы перемещении одного многоугольника параллельно самому себе.

Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками. Три его измерения называют длиной, шириной и высотой и обычно обозначают a, b и c. Эти величины нужны для вычисления суммы рёбер, площади поверхности и объёма.

Куб — прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны. Все шесть его граней являются одинаковыми квадратами. Поэтому куб рассматривают как частный, то есть особый, случай параллелепипеда.

Как это устроено

Чтобы получить призму, берут два одинаковых многоугольника и располагают их в параллельных плоскостях. Затем соединяют отрезками соответствующие вершины этих многоугольников. Получившееся тело включает два основания и боковую часть, которая замыкает пространство между ними.

Основания призмы равны, потому что одно из них можно совместить с другим параллельным переносом. Они параллельны по построению: каждое лежит в своей плоскости, и эти плоскости не пересекаются. При соединении соответствующих сторон возникают боковые грани, у которых две пары противоположных сторон параллельны, поэтому они являются параллелограммами.

Параллелепипед получается тогда, когда многоугольник в основании — параллелограмм. У параллелограмма четыре стороны, поэтому призма имеет два четырёхугольных основания и четыре боковые грани. Все шесть граней в таком случае являются параллелограммами, что и даёт определение параллелепипеда.

По форме граней можно различать тела. У произвольного параллелепипеда грани — параллелограммы, причём углы могут быть не прямыми. У прямоугольного параллелепипеда все грани прямоугольные, а у куба все эти прямоугольники превращаются в равные квадраты.

У параллелепипеда восемь вершин: по четыре в каждом основании. Рёбра состоят из четырёх рёбер нижнего основания, четырёх рёбер верхнего основания и четырёх соединяющих рёбер, всего их 12. Граней шесть: две основания и четыре боковые; каждая грань имеет противоположную ей грань, с которой не имеет общих точек.

Сравнение призмы, параллелепипеда, прямоугольного параллелепипеда и куба

В таблице n — число сторон многоугольника в основании призмы. Сначала определите, к какому виду относится тело, а затем используйте нужную строку. Каждое следующее тело является частным случаем предыдущего: параллелепипед — призмы, прямоугольный параллелепипед — параллелепипеда, куб — прямоугольного параллелепипеда.

Разбор задач

Задача 1

По модели прямоугольного параллелепипеда назовём его элементы и противоположные грани. Обозначим нижнее основание ABCD, верхнее — A₁B₁C₁D₁, а соединяющие рёбра — AA₁, BB₁, CC₁, DD₁.

1. Вершины: A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁.
2. Рёбра: AB, BC, CD, DA, A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, D₁A₁, AA₁, BB₁, CC₁, DD₁.
3. Грани: ABCD, A₁B₁C₁D₁, ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, DAA₁D₁.
4. Противоположные пары: ABCD и A₁B₁C₁D₁; ABB₁A₁ и CDD₁C₁; BCC₁B₁ и DAA₁D₁.

Ответ: у тела 8 вершин, 12 рёбер и 6 граней. Противоположные грани не имеют общего ребра и расположены напротив друг друга.

Задача 2

Прямоугольный параллелепипед имеет длину 8 см, ширину 5 см и высоту 3 см. Нужно найти сумму длин всех рёбер и площадь поверхности, поэтому обозначим a = 8 см, b = 5 см, c = 3 см.

1. В каждом из трёх направлений есть по четыре равных ребра, поэтому сумма рёбер равна 4(a + b + c) = 4(8 + 5 + 3) = 64 см.
2. Площадь поверхности складывается из площадей трёх пар равных граней: S = 2(ab + ac + bc).
3. Подставим значения: S = 2(8 · 5 + 8 · 3 + 5 · 3) = 2(40 + 24 + 15) = 158 см².

Ответ: сумма длин всех рёбер равна 64 см, площадь поверхности — 158 см². Единицы измерения различаются: для длины используются сантиметры, для площади — квадратные сантиметры.

Задача 3

В основании призмы лежит пятиугольник, значит n = 5. Каждая вершина основания получает соответствующую вершину второго основания, а каждая сторона основания даёт одно ребро в каждом основании и одну боковую грань.

1. Вершин будет 2n = 2 · 5 = 10.
2. Рёбер будет 3n = 3 · 5 = 15: по пять в каждом основании и ещё пять боковых.
3. Граней будет n + 2 = 5 + 2 = 7: пять боковых граней и два основания.

Ответ: призма имеет 10 вершин, 15 рёбер и 7 граней. Такой способ подсчёта подходит для призмы с любым многоугольником в основании.

Типичные ошибки

Называть любую призму параллелепипедом. Такая ошибка возникает, если не учитывать форму основания. Проверьте, являются ли оба основания параллелограммами.

Путать число граней, рёбер и вершин. На пространственном рисунке некоторые элементы скрыты, поэтому их легко пропустить. Полезно отдельно посчитать элементы двух оснований и соединяющие рёбра.

Считать противоположные грани соседними или видимые грани всеми гранями тела. Соседние грани имеют общее ребро, а противоположные не имеют общих точек. Мысленно поверните тело и добавьте три грани, скрытые на рисунке.

Применять формулы куба к любому прямоугольному параллелепипеду. У такого параллелепипеда измерения могут быть разными, поэтому нельзя заменять формулы 12a и 6a² без проверки. Если длина, ширина и высота не равны, используйте 4(a + b + c) и 2(ab + ac + bc).

Связь с другими темами

До изучения темы нужны знания о многоугольниках, параллельных и перпендикулярных прямых, прямоугольнике, параллелограмме и площади прямоугольника. Позже эти тела будут нужны при вычислении объёмов и площадей поверхностей, а также в задачах об упаковках и размерах предметов. Чертежи помогают изображать пространственные фигуры на плоскости и читать обозначения вершин, рёбер и граней.

Что запомнить

• Призма имеет два равных параллельных основания.
• Боковые грани призмы являются параллелограммами.
• Параллелепипед — призма с параллелограммами в основаниях.
• У параллелепипеда 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
• У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники.
• Куб — прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны.
• У прямоугольного параллелепипеда сумма длин всех рёбер равна 4(a + b + c).