З Занятие 1. Словарь геометрии

Определения и обозначения

Точка — геометрический объект, который не имеет длины, ширины и других размеров. На чертеже её отмечают маленькой точкой, а рядом пишут заглавную латинскую букву: A, B или C. Точка нужна, чтобы отмечать положение объектов и называть их.

Прямая — линия, которая не имеет ни начала, ни конца и продолжается в обе стороны. Её обозначают двумя точками, например AB, или одной строчной латинской буквой, например a. Это позволяет точно назвать бесконечную линию на чертеже.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка и обозначают его двумя буквами, например отрезок AB. По отрезку можно измерять длину, потому что он имеет начало и конец.

Луч — часть прямой, у которой есть начало, но нет конца. Начало обозначают первой буквой, поэтому луч AB начинается в A и продолжается через B дальше. Такое обозначение помогает определить направление луча.

Как это устроено

Наблюдая за следом карандаша, мы видим линию, а место касания можно представить как точку. В геометрии реальные предметы заменяют идеальными образами: точка не имеет размеров, а линия может продолжаться сколько угодно. Точка считается основным объектом, потому что с её помощью задают положение, проводят линии и получают другие фигуры.

Если отметить две различные точки A и B, через них можно провести прямую. Она должна проходить через обе точки, а продолжение в любом направлении остаётся частью той же прямой. Две разные прямые не могут проходить через одни и те же две точки, иначе в одном месте получились бы сразу две линии, поэтому такая прямая только одна.

На прямой можно выбрать две точки и рассматривать только участок между ними. Выбранные точки становятся концами отрезка, а все точки, расположенные между концами, принадлежат этому отрезку. Точки вне него лежат на той же прямой, но уже не входят в данный отрезок.

Если на прямой отметить точку A, она разделит прямую на две части. Каждая часть начинается в A и продолжается бесконечно в противоположную сторону, поэтому обе части являются лучами с общим началом. Лучи направлены друг от друга в разные стороны, хотя имеют одну общую точку.

Эти объекты удобно использовать вместе. Точки задают вершины и концы, отрезки соединяют выбранные точки, прямые задают направление, а лучи помогают описывать стороны углов. Из таких простых объектов составляют более сложные фигуры, например ломаные и многоугольники.

Основные геометрические объекты

Сначала определите объект по его границам: у прямой границ нет, у отрезка их две, у луча только одна. Затем проверьте обозначение: у луча первая буква показывает начало, а у отрезка буквы называют его концы.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке отмечены точки A и B. Нужно назвать прямую и отрезок, проходящие через эти точки. Главное — различить всю бесконечную линию и её ограниченную часть.

1. Прямая проходит через A и B и продолжается в обе стороны.
2. По двум точкам её обозначают прямой AB.
3. Часть этой прямой между A и B имеет концами те же точки, поэтому это отрезок AB.

Ответ: прямая AB и отрезок AB. Названия совпадают, но объект различают по смыслу: прямая бесконечна, а отрезок ограничен.

Задача 2

Точка C лежит на прямой AB между точками A и B. Нужно перечислить все отрезки, которые можно назвать по этим точкам. Концами отрезка могут быть любые две отмеченные точки, если между ними находится часть данной прямой.

1. Пара A и C задаёт отрезок AC.
2. Пара C и B задаёт отрезок CB.
3. Крайние точки A и B тоже задают отрезок AB, включающий точку C.

Ответ: AC, CB и AB. Отрезок AB нельзя пропускать: он длиннее двух малых отрезков и также имеет отмеченные концы.

Задача 3

На прямой отмечены A, B и C, причём B находится между A и C. Нужно сравнить лучи AB и AC с общим началом A. Для этого смотрим не только на первую букву, но и на направление от A к второй точке.

1. Оба луча начинаются в A.
2. Точки B и C находятся по одну сторону от A, потому что B расположена между A и C.
3. Луч, проходящий через B, продолжается дальше через C, поэтому лучи AB и AC содержат одни и те же точки.

Ответ: лучи AB и AC совпадают. Разные вторые буквы не всегда означают разные лучи: важно, лежат ли точки в одном направлении от общего начала.

Типичные ошибки

Считать прямую отрезком конечной длины. На чертеже показывают только небольшой фрагмент прямой, поэтому она кажется ограниченной. Проверьте себя: если линию мысленно можно продолжить в обе стороны, это прямая.

Считать, что у луча есть конец. Его часто путают с отрезком, потому что на рисунке направление изображают короткой линией. Помните: у луча есть начало, но дальняя граница отсутствует.

Называть отрезок одной буквой. Одна буква обозначает точку, а не часть прямой с определёнными границами. Проверьте, указаны ли две буквы и являются ли они концами отрезка.

Путать лучи AB и BA. При перестановке букв меняется начало: первый луч начинается в A, второй — в B. Для проверки найдите первую букву и проследите направление от неё ко второй.

Связь с другими темами

До изучения этой темы нужно уметь обозначать точки заглавными латинскими буквами и находить их на чертеже. Это позволяет правильно читать записи вроде AB, AC и луч AB.

Точка, прямая, отрезок и луч понадобятся при изучении углов, ломаных и многоугольников. Отрезки помогут измерять длины, а лучи — описывать стороны угла и его направление.

Что запомнить

• Точку обозначают заглавной латинской буквой.
• Через две различные точки проходит ровно одна прямая.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• Отрезок ограничен двумя концами.
• Луч имеет начало и бесконечно продолжается в одном направлении.
• В обозначении луча первая буква указывает его начало.