Беседа. Развитие понятия функции

Определения и обозначения

Переменная величина — величина, которая может принимать разные числовые значения в рассматриваемой ситуации. Например, число купленных тетрадей может быть 1, 2 или 3. Это понятие нужно, чтобы описывать изменяющиеся данные с помощью букв.

Функциональная зависимость — зависимость, при которой каждому допустимому значению одной переменной соответствует единственное значение другой. Например, цене одного товара соответствует стоимость определённого количества таких товаров. Такое условие позволяет однозначно находить результат.

Функция — правило, устанавливающее соответствие между значениями независимой переменной и зависимой переменной. Независимую переменную обычно обозначают x, а зависимую — y. Понятие функции помогает записывать и исследовать повторяющиеся зависимости.

Аргумент — значение независимой переменной, по которому находят соответствующее значение функции. Если записано y = f(x), аргументом является x, а результатом — y, или f(x). По аргументу можно вычислить значение функции, если известно правило соответствия.

Как это устроено

Люди сначала замечали зависимости в обычной жизни: путь меняется с течением времени, плата зависит от количества товара, а периметр квадрата — от длины его стороны. Чтобы сравнивать такие случаи и предсказывать результаты, стали обозначать изменяющиеся величины буквами. Так наблюдение за реальными ситуациями постепенно привело к общему математическому понятию функции.

Главное условие функции — каждому допустимому аргументу соответствует ровно одно значение. Например, по известной стороне квадрата его периметр определяется однозначно: P = 4a. Если же одному и тому же аргументу можно поставить в соответствие два разных результата, единого правила вычисления нет, поэтому такое соответствие функцией не считают.

Одну зависимость можно представить разными способами. Словами описывают правило, таблица показывает отдельные пары значений, формула записывает вычисление, а график изображает пары на координатной плоскости. Разные формы удобны для разных целей: по формуле считают, по таблице сравнивают, по графику наблюдают изменение.

Запись y = f(x) подчёркивает, что значение y зависит от аргумента x. Буква f обозначает правило, а не отдельное число: например, если f(x) = 2x + 1, то f(3) = 2 · 3 + 1 = 7. Чтобы найти значение функции по формуле, достаточно подставить аргумент вместо x и выполнить действия.

Способы задания функциональной зависимости

Таблица помогает увидеть конкретные пары значений и заметить закономерность. Формула позволяет получить результат для любого допустимого аргумента, а график — сравнить изменение величин. Если один способ непонятен, можно перевести зависимость в другой.

При чтении таблицы сначала находят нужное значение аргумента, а затем смотрят, какое значение стоит напротив него. На графике ищут точку с нужной координатой x и определяют её координату y.

Разбор задач

Задача 1. Зависимость задана формулой y = 3x − 2. Найдём значения y при x = 0, x = 2 и x = −1. В каждом случае нужно отдельно подставить аргумент в формулу, потому что результат зависит от выбранного x.

1. При x = 0: y = 3 · 0 − 2 = −2.
2. При x = 2: y = 3 · 2 − 2 = 6 − 2 = 4.
3. При x = −1: y = 3 · (−1) − 2 = −3 − 2 = −5.

Ответ: при x = 0 значение y равно −2, при x = 2 — 4, при x = −1 — −5.

Задача 2. Дана таблица: x: 1, 2, 3, 4; y: 5, 8, 11, 14. Нужно определить правило зависимости. Значения y увеличиваются на 3 каждый раз, когда x увеличивается на 1, значит формула имеет вид y = 3x + b.

1. Подставим первую пару: 5 = 3 · 1 + b, поэтому b = 2.
2. Получаем формулу y = 3x + 2.
3. Проверим: при x = 2 имеем y = 6 + 2 = 8, а при x = 4 — y = 12 + 2 = 14.

Ответ: правило зависимости — y = 3x + 2.

Задача 3. Определим, какие соответствия являются функциями. В первом случае каждому ученику сопоставляют его дату рождения, а во втором каждому числу — все его делители. Проверяем, получается ли для каждого аргумента ровно один результат.

1. У каждого ученика одна дата рождения, поэтому первое соответствие является функцией.
2. У числа, например 6, несколько делителей: 1, 2, 3 и 6.
3. Одному числу соответствуют разные результаты, поэтому второе соответствие функцией не является.

Ответ: соответствие «ученик — дата рождения» является функцией, а соответствие «число — все его делители» — нет.

Типичные ошибки

Ошибка — считать функцией любую зависимость. Её допускают, когда замечают связь величин, но не проверяют однозначность результата. Для проверки возьмите один аргумент и убедитесь, что ему соответствует только одно значение.

Иногда путают аргумент и значение функции, принимая независимую переменную за результат. Причина в том, что обе величины обозначаются буквами и записываются рядом. Спросите себя: какую величину задают сначала, а какую находят по правилу?

Неверно думать, что функцию обязательно записывают формулой. Формула действительно удобна для вычислений, но зависимость можно задать словами, таблицей или графиком. Проверьте, не описывает ли условие правило другим способом.

Ещё одна ошибка — не учитывать допустимые значения переменной. Например, делить на ноль нельзя, поэтому такое значение аргумента исключают. Перед вычислением подставьте число в выражение и убедитесь, что все действия имеют смысл.

Связь с другими темами

Для изучения функции понадобятся навыки работы с переменными, числовыми выражениями, таблицами и координатной плоскостью. Без них трудно подставлять значения, читать пары чисел и изображать точки. Поэтому полезно уверенно выполнять действия с числами и находить координаты точки.

Понятие функции используется при изучении линейной зависимости, графиков, уравнений и пропорций. Например, формула линейной функции помогает связать таблицу, вычисления и прямую на координатной плоскости. Одна и та же зависимость становится понятнее, если рассматривать её с разных сторон.

Позже функции станут основой изучения квадратной, показательной, тригонометрической и других зависимостей. Во всех этих темах сохраняется главный вопрос: какому результату соответствует выбранный аргумент. Поэтому понимание однозначного соответствия пригодится дальше в математике.

Что запомнить

• Функция задаёт зависимость одних величин от других.
• Аргумент — независимая переменная.
• Значение функции — результат, соответствующий заданному аргументу.
• Каждому допустимому значению аргумента соответствует единственное значение функции.
• Функцию можно задать словесно, таблицей, формулой или графиком.
• Запись y = f(x) показывает, что y зависит от x.