З Занятие 5. Непрерывность функции

Определения и обозначения

Непрерывная функция — функция, у которой малому изменению аргумента соответствует малое изменение значения. Иными словами, если x изменился совсем немного, то и y не должен внезапно измениться на большое число. Это понятие нужно, чтобы описывать постепенное изменение величин.

Непрерывность функции в точке означает отсутствие скачка, разрыва или неопределённости, когда график проходит через эту точку. График должен подходить к точке слева и справа согласованно и иметь в ней значение. Так проверяют поведение функции не вообще, а в выбранном значении x.

Точка разрыва функции — точка, в которой функция не определена или её график имеет скачок, пробел либо другой обрыв. Например, нельзя подставить число, при котором знаменатель дроби равен нулю. Поиск таких точек помогает понять, где функция перестаёт быть непрерывной.

График непрерывной функции — график, который на рассматриваемом промежутке можно начертить одной линией, не отрывая карандаш. Это удобный наглядный признак постепенного изменения. Если приходится остановиться из-за пробела или перескочить на другую часть графика, есть разрыв.

Как это устроено

Аргумент — это независимая переменная x, а значение функции — число y, полученное по правилу функции. Когда x меняется на маленькую величину, точка на графике сдвигается немного по горизонтали. Если функция непрерывна, соответствующий сдвиг по вертикали тоже мал, поэтому график не делает внезапного прыжка.

На рисунке непрерывный график выглядит цельным: около каждой его точки есть соседние точки, соединённые плавным или хотя бы неразрывным ходом линии. У функции с разрывом можно увидеть пустой кружок, вертикальный обрыв или две части, расположенные на разных уровнях. Поэтому график читают не только по отдельным точкам, но и по тому, как он ведёт себя рядом с ними.

Если в точке нет значения функции, пройти через неё как через обычную точку нельзя. Даже когда ветви графика с обеих сторон стремятся к одному месту, отсутствие самой точки оставляет пробел. Поэтому непрерывность нарушается именно в этой точке, хотя на соседних участках функция может оставаться непрерывной.

Чтобы проверить промежуток, сначала находят область определения: выясняют, какие x разрешены формулой. Затем проверяют возможные опасные места, например нули знаменателя или точки соединения разных формул, и смотрят на график с обеих сторон. Если на всём промежутке нет запрещённых значений и скачков, функцию считают непрерывной на нём.

Линейная и квадратичная функции задаются выражениями, которые можно вычислить при любом x, поэтому на числовой оси они обычно непрерывны. Синусоидальная функция тоже меняется без скачков на всей своей области определения. Но при делении на выражение, равное нулю, вычисление невозможно, поэтому в соответствующем месте появляется разрыв или вертикальный обрыв графика.

Признаки непрерывности и разрыва функции

Таблица помогает проверять функцию по нескольким признакам сразу. Сначала смотрите, существует ли значение в точке, затем — как ведёт себя график слева и справа. Последняя строка показывает знакомые примеры, с которыми удобно сравнивать новую функцию.

Разбор задач

Задача 1. Определить по графику, является ли функция непрерывной на указанном промежутке. График нужно рассматривать целиком, а не по отдельным удачным участкам.

1. Проведём взглядом график слева направо и отметим места, где линия обрывается.
2. Проверим, нет ли пустых кружков, вертикальных промежутков и скачков между двумя частями графика.
3. Если таких мест нет и через весь промежуток можно пройти одной линией, функция непрерывна. Если найден хотя бы один разрыв, непрерывности на всём промежутке нет.

Ответ: функция непрерывна тогда и только тогда, когда на указанном промежутке нет пробелов, скачков и обрывов.

Задача 2. Исследовать непрерывность функции y = (x + 2)/(x − 3) и указать точку разрыва. Здесь сначала нужно выяснить, при каких x формула вообще имеет смысл.

1. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому решаем x − 3 = 0.
2. Получаем x = 3 и исключаем это значение из области определения.
3. На каждом из промежутков x < 3 и x > 3 дробь задаётся обычными действиями и не имеет скачков внутри промежутка.

Ответ: функция непрерывна при x ≠ 3, а x = 3 — её точка разрыва.

Задача 3. Функция задана разными формулами слева и справа от x = 1. Нужно определить, будет ли график непрерывным в этой точке. Пусть слева график приближается к числу A, справа — к числу B, а значение функции в точке равно C.

1. Находим, к какому числу приближается функция при x, меньших 1: это A.
2. Находим правое приближение при x, больших 1: это B.
3. Сравниваем A, B и C. Непрерывность есть только тогда, когда A = B = C; при любом несовпадении появляется разрыв.

Ответ: график непрерывен в точке x = 1 только при совпадении левого и правого приближений со значением функции в этой точке.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Ученик считает функцию непрерывной из-за простой на вид формулы и забывает область определения. Так бывает, когда не проверяют знаменатель или корень. Проверьте все ограничения перед выводом.

Ошибка 2. Пробел на графике принимают за обычное значение функции. Пустая точка означает, что значение в ней не задано или не входит в график. Нужно подставить это x в формулу и проверить, существует ли результат.

Ошибка 3. Две части графика называют непрерывными, потому что каждая часть нарисована без обрыва. Но скачок между уровнями тоже является разрывом. Проведите взглядом линию через место соединения и проверьте, не приходится ли перескакивать.

Ошибка 4. Проверяют поведение только слева или только справа от точки. Одна сторона может подходить к точке правильно, а другая — нет. Всегда сравнивайте обе стороны и значение функции в самой точке.

Связь с другими темами

До этой темы нужны понятия функции, области определения и значения функции, координатная плоскость и умение читать графики. Без них трудно понять, где функция задана и что означает пробел на рисунке.

Дальше непрерывность связывается с пределом, производной и исследованием графиков. Она также используется в математическом моделировании, когда нужно описать изменение величины без внезапных скачков.

В жизни непрерывными моделями удобно описывать время, пройденное расстояние и температуру. Эти величины обычно меняются постепенно, поэтому их графики помогают делать прогнозы.

Что запомнить

• Непрерывная функция изменяется без скачков и пробелов.
• Непрерывность рассматривают в конкретной точке или на промежутке.
• График непрерывной функции можно провести одной линией.
• Точка, в которой функция не определена, является точкой разрыва.
• Нулевой знаменатель может быть причиной разрыва функции.
• Для проверки непрерывности нужно учитывать область определения и поведение графика с обеих сторон точки.